1. Задачи / CPC для заочников / Примеры_СРС_МО-заочники / Parshakov / Самостоельнаработа №5

СPC №5.

Двойственность в линейном программировании.

Для задачи, состоящей в максимизации функции

Z(X)=17*x₁+ x₂ +18*x ₃

При условиях:

26*x₁+ x₂ +12*x ₃ = 16

3*x₁+19*x + 6*x ₃ = 18

x₁0

x₂0

x₃0

Необходимо сформулировать двойственную задачу, решить ее каким-либо способом и проверить выполнение теоремы двойственности.

Для данной задачи

26 1 12 т 26 3

А = А = 1 19

3 19 6 12 6

Двойственная задача формулируется следующим образом:

Найти минимум функции

F* = 16y1 + 18y2 при условиях

26y1 + 3y2 ≥ 17

y1 + 19y2 ≥ 1

12y1 + 6y2 ≥ 18

y1, y2, y3 ≥ 0

Решим эту задачу, используя первую геометрическую интерпретацию.

В результате получим: y1 =1.5 , y2 =0 и F*(y)max = 24

Теорема двойственности гласит:

Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой.

В нашем случае Z(x)max = F*(y)max = 24 => теорема выполняется.

= Z(x)max