Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

up_2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

при | x | | x

| и, следовательно, сходится. Поэтому

при | x | | x

| и, следовательно, сходится. Поэтому

§1. Определение функционального ряда и основные понятия

Определение 2.1.1. Выражение


	u1 (x) u2 (x)		un (x)			un (x) ,
						n 1
где u1 (x) ,	u2 (x) ,…, un (x) ,… есть некоторые заданные функции, на-
зывается функциональным рядом относительно переменной x .
Функции u1 (x) , u2 (x) ,…, un (x) ,… называются членами ряда,
un (x) – общим членом ряда.
Определение 2.1.2.		Конечная сумма n первых членов функ-

ционального ряда un (x)		называется n -ой частичной суммой этого
	n 1
ряда и обозначается
						n
	Sn (x) u1 (x) u2 (x)			un (x) uk (x) .
						k 1
Определение 2.1.3.		Ряд	un 1 (x) un 2 (x)				, полученный из

ряда un (x) отбрасыванием первых					n	членов, называется n -ым
n 1
остатком ряда и обозначается Rn (x) .

Придавая в выражении un (x)					переменной x некоторые зна-
		n 1
чения x0 ,	x1 и т.д., мы	будем получать разные					числовые ряды:

un (x0 ) ,	un (x1 ) и т.д. В зависимости от значения, принимаемого
n 1	n 1

переменной x , числовые ряды			un (x0 ) ,			un (x1 )	и т.д. могут ока-
			n 1			n 1

заться как сходящимися, так и расходящимися. Например, функцио-


нальный ряд x n				при		x 2 является расходящимся числовым ря-
		n 1

					1	получаем сходящийся числовой ряд	1
дом 2	n	, а при	x		1		1	.
дом 2		, а при	x		3		3n	.
n 1						n 1
						n 1
						28

Определение 2.1.4. Множество всех значений переменной x ,

для которых ряд un (x) сходится, называется областью сходимости

n 1

функционального ряда.

Определение 2.1.5. Функциональный ряд un (x) называется

n 1

сходящимся на множестве D , если последовательность его частичных сумм Sn (x) сходится на этом множестве. Предел S(x) этой по-

следовательности называется суммой ряда, S(x) li m Sn (x) , x D .

Заметим, что последовательность частичных сумм является функциональной последовательностью. Напомним некоторые факты, касающиеся сходимости последовательности функций. Рассмотрим функции f1 (x) , f2 (x) ,…, fn (x) ,…, заданные на некотором множестве

D . Последовательность f1 (x) ,	f2 (x) ,…, fn (x) ,… сходится к предель-
ной функции f (x) в точке x0	D ( li m fn (x0 ) f (x0 ) ),		если для лю-
		n
бого 0 существует номер	n0	такой, что при n n0	выполняется
неравенство \| fn (x0 ) f (x0 ) \| .		Последовательность функций f1 (x) ,

f2 (x) ,…, fn (x) ,… сходится к функции f (x) в некоторой области, ес-

ли для любого x0	из этой области li m fn (x	0 ) f (x	0 ) . В этом опреде-
	n
лении номер n0	находится для каждого x0 D ,		то есть зависит от

x0 . Может оказаться, что для всех x0 D невозможно подобрать общий номер n0 , обладающий указанным свойством. Если же для любого 0 существует номер n0 такой, что при n n0 для всех x0 D выполняется неравенство | fn (x0 ) f (x0 ) | , то последовательность функций f1 (x) , f2 (x) ,…, fn (x) ,… сходится к функции f (x) в области

D равномерно.

Для числовых последовательностей также вводится понятие равномерной сходимости, но, в применении к рядам, характер сходимости последовательности частичных сумм числового ряда никак не отражается на свойствах суммы.

Сумма функционального ряда сама является функцией переменной x . Отметим, что говорить о сумме функционального ряда имеет смысл только в области сходимости этого ряда. Поэтому можно

ставить и решать вопросы о её непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т.д. только в области сходимости.

Свойства функции S(x), т.е. суммы сходящегося функционального ряда, существенно зависят от типа сходимости её последовательности частичных сумм Sn (x) .

Рассмотрим несколько примеров нахождения области сходимости функционального ряда.

Пример 2.1.1. Найти область сходимости функционального ря-


да x n 1 x x 2
n 0

Решение. Слагаемые ряда x n	1 x x 2		являются членами
n 0
бесконечной геометрической прогрессии с		b1	1 и знаменателем

q x . Так как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при | q | | x | 1 (табл. 1, с. 17), то областью сходимо-

сти данного функционального ряда будет интервал ( 1; 1) .

Пример 2.1.2. Найти область сходимости функционального ря-

да

cosnx

n 1

Решение.

Для

любого фиксированного

значения

x0 числовой

ряд

cosnx

является

знакопеременным.

Так как

| cosnx0 | 1 ,

то

n 1

| cosnx0 |

. Ряд

сходится как обобщённый гармониче-

n 1

ский ряд при p 2 1 . Следовательно, по первому признаку сравне-

				\| cosnx			0	\|
ния (теорема 1.4.2) ряд							0		тоже сходится. Это означает,
ния (теорема 1.4.2) ряд					n	2			тоже сходится. Это означает,
		n 1			n
		n 1
		cosnx	0
что числовой ряд			0		сходится абсолютно при любом значе-
что числовой ряд		n2			сходится абсолютно при любом значе-
		n2
	n 1

нии x0 . Следовательно, областью сходимости функционального ряда

	cosnx		будет вся числовая ось.

	n2
	n2
	n 1
			30

Пример 2.1.3. Найти область сходимости функционального ря-

	n 1		n
	n 1		nx
да			2 .
да		n	2 .
n 1		n

Решение. Для нахождения области сходимости этого функционального ряда применим радикальный признак Коши (теорема 1.4.5):

li m

n 1

2x li m

n 1

2x .

li m n | u

(x) |

Ряд сходится для всех x , для которых выполняется неравенство

2x 1 .

Решим это

неравенство, учитывая, что

1 20 .

Получим

x 0 . Значит, данный ряд сходится при

x ( ; 0) . Исследуем схо-

димость ряда в точке x0 0

, то есть числовой ряд

. Най-

n 1

дём предел общего члена ряда

n 1 n

1 n

l i m un (x

0 ) l i m

l i m 1

e 0 .

Так как необходимый признак сходимости не выполняется, то при x0 0 ряд расходится. Итак, интервал сходимости данного ряда

( ; 0) .

Как следует из приведённых примеров, для нахождения области сходимости функциональных рядов можно применять признаки сходимости числовых рядов, рассматривая переменную x как параметр.

В заключение приведём ещё одно важное определение.

Определение 2.1.6. Функциональный ряд un (x) называется

n 1

абсолютно сходящимся в области D , если в каждой точке этой облас-

ти сходится ряд, составленный из модулей его членов | un (x) |.

n 1

§2. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса

	Пусть S(x) , x D ,	есть сумма функционального ряда

un	(x) , S(x) li m Sn (x) , где	Sn (x) – частичная сумма этого ряда.
n 1	n
n 1
		31

Определение 2.2.1. Функциональный ряд un (x) называется

n 1

равномерно сходящимся в некоторой области D к функции S(x) , ес-

ли для любого	0 существует номер N	такой,	что для любого
n N и любого x D выполняется неравенство
	\| S(x) Sn (x) \| .
Геометрически равномерная сходимость ряда означает, что для
любого 0	существует номер N такой,	что при	n N график

частичной суммы Sn (x)	полностью лежит в полосе между графиками
S(x) и S(x) (рис. 1).
y	S(x) +

S(x)

Sn(x)

Рис. 1

Весьма удобный в применении достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда был предложен немецким математиком Карлом Вейерштрассом (1815 – 1897).

Теорема 2.2.1 (признак равномерной сходимости Вейершт-

расса). Функциональный ряд un (x) , каждый член которого являет-

n 1

ся функцией, определённой на отрезке [a, b] , сходится равномерно на этом отрезке, если существует такая последовательность c1 , c2 ,…, cn ,… положительных чисел, что

\| un (x) \| cn		(2.1)

для любого x [a, b]	и любого n 1, 2,	, а числовой ряд cn
		n 1
сходится.


Доказательство. По условию теоремы ряд cn сходится, и
	n 1
для всех x [a, b]	выполняется неравенство \| un (x) \| cn . Следова-

тельно, на основании признака сравнения (теорема 1.4.2) можно сде-


лать вывод, что функциональный ряд	un (x) сходится в каждой
	n 1
точке отрезка [a, b] .

Обозначим un (x) S(x) , где сумма S(x) есть функция, оп-
n 1

ределённая на отрезке [a, b] . А сумму числового ряда cn обозна-
	n 1

чим через s ( cn s).
n 1

Из сходимости числового ряда	cn следует, что для любого
	n 1

0	найдётся номер n0 n0 ( ) такой, что при всех n n0		выполня-
ется неравенство
	s (c1 c2	cn ) .
	Заметим, что левая часть	неравенства есть	остаток


rn cn 1 cn 2	числового ряда cn .
	n 1
Обозначим	остаток функционального ряда

Rn (x) , т.е. Rn (x) S(x) Sn (x) un 1 (x) un 2 (x)

его модуль:

un (x) через

n 1

, и оценим

Rn (x) un 1 (x) un 2 (x)

					(2.1)
	un 1 (x)		un 2 (x)

(2.1)

cn 1 cn 2 rn для всех n n0 и для всех x [a, b] . Таким образом, мы получили, что | S(x) Sn (x) | для всех

x [a, b] . А это по определению 2.2.1 и означает равномерную схо-

димость ряда un (x) , что и требовалось доказать. ■

n 1

Пример 2.2.1. Найти область равномерной сходимости ряда

si n(n2x) .

n 1 n2

Решение. Для всех x и всех n справедливо неравенство

si n n2x	1	,
n2	n2

а числовой ряд 1 сходится. Поэтому функциональный ряд

n 1 n2

	si n n2x
	n2	сходится равномерно для любых x .
n 1

Функциональный ряд, удовлетворяющий условиям теоремы

2.2.1, называется мажорируемым, а числовой ряд cn – мажори-

n 1

рующим (или мажорантой).

§3. Свойства равномерно сходящихся рядов

При изучении функциональных рядов представляют интерес функциональные свойства суммы ряда:

1.Является ли сумма ряда непрерывной функцией, если все члены ряда непрерывные функции?

2.Является ли сумма ряда дифференцируемой функцией, если все члены ряда – функции дифференцируемые? Если да, то будет ли

выполняться равенство S (x) u (x) ?

3.Является ли сумма ряда интегрируемой функцией, если все члены ряда – функции интегрируемые? Если да, то будет ли иметь ме-

сто равенство S(x)dx un (x)dx ?

n 1

Иначе говоря, какие основные свойства суммы конечного числа функций можно перенести на сумму функционального ряда? Ответы на эти вопросы дают приведённые ниже теоремы.

Теорема 2.3.1 (о непрерывности суммы функционального

ряда). Пусть все члены ряда un (x) определены и непрерывны на

n 1

отрезке [a, b] , а сам ряд равномерно сходится на этом отрезке. Тогда

сумма

ряда un (x)

является функцией,

непрерывной на

отрезке

n 1

[a, b] .

Доказательство. По условию теоремы ряд un (x) сходится

n 1

равномерно на отрезке

[a, b] . Значит,

для любого 0 существует

такой номер n0 ( ) ,

что для всех n n0 ( )

выполняется неравенство

Rn (x)

| S(x) Sn (x) | для всех x [a, b] . В частности при фик-

сированном номере

n n0 ( ) имеем

Rn0 (x)

| S(x) Sn0 (x) |

для всех x [a, b] . Из непрерывности функции

Sn0 (x) un (x)

на

n 1

отрезке

[a, b]

следует, что

для

любого

x0 [a, b]

и выбранного

существует

такое,

что

| Sn0 (x) Sn0

(x0 ) |

при

| x x0

| и x [a, b] . Тогда для любого 0

| S(x) S(x0 ) | | Sn0 (x) Rn0 (x) Sn0 (x0 ) Rn0 (x0 ) |

| S (x) S (x

) | | R (x) | | R (x

) |

при | x x0 | .

А это и означает непрерывность функции

S(x)

произвольной точке x0

отрезка [a, b] . ■

Отметим,

что

требование

равномерной

сходимости ряда

un (x) в теореме 2.3.1 является весьма существенным. Если оно не

n 1

выполняется, то сумма ряда из непрерывных функций может оказаться разрывной. Например, члены ряда

x 2

(1 x

)

(1 x

)

n 1

(1 x

)

n 1

при x 0

образуют геометрическую прогрессию со

знаменателем

1 , а при

x 0 все обращаются в нуль. Поэтому сумма дан-

1 x 2

ного ряда имеет вид

S(x) 0,	2	если x	0,
1 x		, если x	0.

Следовательно, областью сходимости ряда является вся числовая ось. Заметим, что все члены ряда непрерывны в области сходимости, однако сумма ряда терпит разрыв в точке x 0 . Это означает, что данный ряд сходится неравномерно на интервале ( ; ) . Но на любом отрезке, не содержащем точку x 0 , ряд сходится равномерно.

Теорема 2.3.2 (о почленном интегрировании рядов). Если


функциональный		ряд	un (x)	сходится равномерно		на отрезке
			n 1

[a, b] , и его сумма равна S(x) ,				то функциональный ряд vn (y) , где
						n 1
y
vn (y) un (x)dx ,		a y b , также сходится равномерно на этом

				y
отрезке, и его сумма равна V(y) S(x)dx .


Доказательство. Равномерная сходимость ряда						un (x) на
						n 1
отрезке [a, b]	означает, что для любого				0 существует такой но-
мер n0 ( ) ,	что	для	всех n n0 ( )		выполняется	неравенство

\| S(x) Sn	(x) \|
\| S(x) Sn	(x) \|	b a
		b a
y	y

S(x)dx uk (x)dx

k 1

y n y

S(x)dx uk (x)dx

k 1

для всех x [a, b] . Оценим разность

(S(x) uk (x))dx

k 1

(S(x) Sn (x))dx

| x x0

для всех

x [a, b]

и для

b a

всех n n0 ( ) .

Это означает, что ряд

un (x)dx

сходится равно-

n 1

мерно к функции S(x )dx . ■

Переход

от

ряда

un (x)

его

суммы

S(x)

ряду

n 1

un (x)dx

и его сумме

S(x )dx

называется почленным интегри-

n 1

рованием ряда.

Теорема

2.3.3

(о

почленном

дифференцировании

рядов).

Пусть ряд un (x)

сходится на отрезке [a, b] к функции S(x) , чле-

n 1

ны ряда un (x)

имеют на этом отрезке непрерывные производные,

причём ряд

u (x)

сходится на [a, b]

равномерно к функции G(x) .

n 1

Тогда ряд

un (x)

сходится на

отрезке

[a, b]

равномерно и

n 1

S (x) G(x) .

Доказательство. Проинтегрируем равенство

				n
G(x)				n
G(x)			u (x)		на отрезке
		n 1
x				x
					n
	G(t )dt				u (t )dt
x0				x0 n 1		n 1

S(x) S(x0 ) .

[x0, x]

u (t )dt

[a, b]

(un (x) un (x0 ))

n 1

Левая часть полученного равенства дифференцируема по				x ,
следовательно,	дифференцируема по x	и его правая	часть,	т.е.

G(x) S (x) .	Равномерная сходимость	ряда un (x)	на отрезке

n 1

[a, b] следует из теоремы 2.3.2. ■

Теоремы 2.3.2 и 2.3.3 часто используются при решении задач о


нахождении суммы ряда. Например, ряд ( 1)n x 2n			сходится равно-
	n 0
мерно при \| x \| 1 и его сумма равна	S(x)	1	. Следовательно,

		1 x 2

его можно почленно интегрировать на отрезке [0, x] , где | x | 1 . Получим

2n 1

( 1)n t 2n dt ( 1)n t 2n dt ( 1)n

2n 1

n 0 0

2n 1

n 0

( 1)n

2n 1

n 0

2n 1

Согласно теореме 2.3.2 ряд ( 1)n

равномерно сходит-

2n 1

n 0

ся на

отрезке

[0, x] ,

где

| x | 1 ,

и его

сумма

равна

S(t )dt

ar ct g x .

Таким

образом,

имеем

1 t 2

2n 1

( 1)n

ar ct g x

для всех | x | 1 .

2n 1

n 0

§4. Степенные ряды. Теорема Абеля

Частным случаем функциональных рядов являются степенные

ряды.

Определение 2.4.1. Функциональный ряд вида


c0 c1 (x x0 )		cn (x x0 )n			cn (x x0 )n ,	(2.2)
					n 0
где x0 , cn ( n 0, 1, 2,			) – действительные числа, называется сте-
пенным рядом. Числа c0 ,				c1 ,…,	cn ,… называют коэффициентами
ряда.
Если x0	0 , то получаем степенной ряд

c0 c1x c2x 2		cn x n		cn x n .		(2.3)

n 0

Ряд (2.2) приводится к виду (2.3) с помощью замены x x0 y . Поэтому изучим сначала ряд (2.3), а затем перенесём по-

лученные результаты на общий случай.

Отметим, что степенной ряд (2.2) называют рядом по степеням (x x0 ) , а ряд (2.3) – рядом по степеням x .

Степенной ряд (2.3) всегда сходится в точке x 0 . При x 0 ряд может как сходиться, так и расходиться. Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто и описываются следующей теоремой.

Теорема 2.4.1 (Абеля). Если степенной ряд cn x n сходится

n 0

при некотором x x0 , то он сходится абсолютно при всех значениях

x ,

для которых

| x | | x0 |. Если степенной ряд

cn x n

расходится

n 0

при

x x1 ,

то он расходится при всех значениях

x ,

для которых

| x | | x1 | .

Доказательство. Докажем первую часть теоремы.

Так как по условию числовой ряд

cn (x0 )n

сходится, то для

n 0

него выполняется необходимый признак сходимости

li m c

)n 0 .

Это значит,

что последовательность {c (x

)n }

ограничена, т.е.

существует число

M 0 такое,

что | c (x

)n | M

для всех n .

Запишем степенной ряд в виде cn x n

cn (x0 )n

и рассмот-

(x0 )

n 0

рим ряд из

абсолютных величин его

членов. Все

члены

ряда

| cn (x0 )n |

меньше соответствующих членов ряда M

(x0 )

n 0

который составлен из членов геометрической прогрессии со знамена-

		x	n
ряд \| cn (x0 )n \|		x			\| cn x n \| сходится по признаку сравнения, а
ряд \| cn (x0 )n \|		(x0 )		n	\| cn x n \| сходится по признаку сравнения, а
n 0		(x0 )			n 0

ряд cn x n	сходится абсолютно при \| x \| \| x0 \|.

n 0

Вторую часть теоремы докажем методом от противного. Предположим, что при некотором значении x , таком, что | x | | x1 | , ряд

cn x n сходится. Тогда по выше доказанной первой части теоремы

n 0

ряд cn x n должен сходиться в точке x1 , так как | x1 | | x |. Но это

n 0

противоречит условию, что в точке x1 ряд расходится. ■

Теорема Абеля утверждает, что если x0 является точкой сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных в интервале

| x

|; | x

, ряд сходится абсолютно (рис. 2а). А если x

– точка

расходимости,

то во

всех

точках,

расположенных

вне интервала

| x

|; | x

, степенной ряд расходится (рис. 2б).

сходимость

x0 x

расх.

Рис. 2а

Рис. 2б

Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд

cn x n

n 0


сходится хотя бы в одной точке x 0 , то существует		число R 0
такое, что ряд абсолютно сходится при всех x ( R; R)		и расходится
для всех x ( ; R)	(R; ) . Такое число R называется радиу-

сом сходимости степенного ряда. При x R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Отметим, что если степенной ряд cn x n сходится на всей чи-

n 0

словой оси, то пишут R . Если степенной ряд сходится только при

x 0 , то считается, что R 0 (в этом случае интервал сходимости вырождается в точку).

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного

ряда.

Так как внутри интервала сходимости степенной ряд cn x n

n 0

сходится абсолютно, то рассмотрим поведение ряда, составленного из

модулей его членов | cn x n |. Применим признак Даламбера и пред-

n 0

положим, что существует предел

n 1

(x)

li m

x n 1

| x | li m

| x | r ,

li m

n 1

u (x)

c x n

cn 1

где

l i m

. Согласно признаку Даламбера ряд сходится, если

| x | r

1, и расходится, если

| x | r

1 , причём в последнем случае

li m | cn x n | 0 . Но тогда и li m cn x n

0 ,

следовательно, ряд cn x n

n 0

тоже расходится.

Таким

образом,

ряд

cn x n

сходится абсолютно

при

n 0

| x | r

1, т.е. если

| x |

; ряд

cn x n

расходится при | x | r

1 ,

n 0

т.е. если | x |

. Значит,

радиус сходимости степенного ряда опреде-

ляется формулой:

li m

n 1

Если для исследования сходимости ряда применить радикальный признак Коши, то, рассуждая аналогичным образом, получим формулу

R li m	1		.


n n \| c		\|
	n

Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда получены в предположении, что ряд содержит все степени переменной

x . Если же ряд не содержит полной последовательности степеней x ,

то указанные формулы неприменимы. Например, ряд cn x 2n содер-

n 0

жит только чётные степени, поэтому пределы l i m		cn 1
		cn 1	и li m n \| c \|
			и li m n \| c \|
n	c		n	n
		n

не существуют. В этом случае следует исследовать ряд из модулей членов степенного ряда, используя признак Даламбера или Коши.


	Рассмотрим теперь ряд cn (x x0 )n . Сделав		замену
	n 0
x x0	y , получим, что он сходится абсолютно при	\| x x0	\| R и

расходится при | x x0 | R . При этом, если ряд содержит все степени (x x0 ) , то радиус сходимости находим по таким же формулам,

что и радиус сходимости ряда cn x n . В противном случае радиус

n 0

сходимости находим с помощью признаков Даламбера или Коши к


ряду \| cn (x x0 )n \| . В	общем случае	интервал сходимости ряда
n 0

cn (x x0 )n имеет вид	(x0 R; x0 R) . Если R 0 , то этот ин-
n 0
тервал вырождается в точку x x0 . Если		R , то интервал сходи-

мости – вся числовая ось. Относительно поведения ряда в граничных

точках интервала сходимости x x0

R общих утверждений выска-

зать нельзя. Как и в случае ряда cn x n

, они требуют отдельного ис-

n 0

следования.

Пример 2.4.1. Найти радиус и интервал сходимости степенного

(x 1)n

ряда

n2n

n 1

Решение. Найдём

радиус сходимости

степенного ряда,

используя

формулу

R l i m

. Подставляя

и c

n2n

n 1

(n 1)2n 1

получим

(n 1)2n 1

n 1

R li m

cn 1

li m

2 li m

2 .

Поскольку x0 1 ,

x0 R 3 и x0

R 1 ,

то данный ряд

сходится при

x ( 3; 1) . Исследуем сходимость ряда на концах ин-

тервала сходимости.

При x 3 получаем числовой ряд

( 3 1)n

( 1)n 2n

( 1)n

un ( 3)

n2n

n 1

который сходится условно (см. пример 1.5.4).

При x 1 получаем числовой ряд

(1 1)n

un (1)

n2n

n 1

который расходится, поскольку является гармоническим. Следовательно, точка x 1 не входит в область сходимости.

Таким образом, исходный ряд сходится при x [ 3; 1) . Пример 2.4.2. Найти радиус и интервал сходимости степенного

		x 2n 1
ряда	n3		.

n 1

Решение. Так как ряд содержит только нечётные степени, то применять формулы для нахождения радиуса сходимости нельзя. Воспользуемся признаком Даламбера:

(x)

li m

x 2(n 1) 1n3

li m

x 2n 3

li m

u (x)

(n 1)3 x 2n 1

x 2n 1

1)3

x 2n 1x 2

n 3

li m

2n 1

n n 1

Для отыскания области сходимости решим неравенство x 2 1 .

Получим | x | 1 или x ( 1; 1) .

Исследуем поведение ряда на концах интервала:

( 1)2n 1

при

x 1

имеем

un ( 1)

сходящийся

n 1

( p 3 1 ) обобщённый гармонический ряд.

Итак, областью сходимости данного ряда является отрезок [ 1; 1] , а радиус сходимости равен половине длины этого интервала

R 1 .

§5. Свойства степенных рядов

Теорема 2.5.1 (о равномерной сходимости степенного ряда).

Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, содержащемся в его интервале сходимости.

Доказательство. Доказательство							проведём			для ряда вида

cn x n . Пусть он сходится в интервале ( R; R) , где R – его радиус
n 0
сходимости. Рассмотрим произвольный отрезок								[ q; q] ( R; R) .
Возьмём точку x0 ( R; q)					(q; R) , т.е. точку, лежащую вне от-
резка [ q; q] . Так как x0		лежит внутри интервала сходимости, то ряд

cn (x0 )n сходится абсолютно.					Для всех значений					x1 [ q; q] вы-
n 0
полняется неравенство \| x1 \| \| x0					\|, поэтому
\| c (x	)n\| \| c \|\| x		1	\|n \| c \|\| x		0	\|n \| c (x		0	)n\| .
n 1		n	1		n	0	n		0

Следовательно, по признаку Вейерштрасса (теорема 2.2.1) ряд cn x n

n 0

сходится на отрезке [ q; q] равномерно, что и требовалось доказать.

■

Теорема 2.5.2 (о непрерывности суммы ряда). На любом от-

резке, лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда, сумма ряда является непрерывной функцией.

Доказательство. Каждая n -частичная сумма sn (x) степенно-

го ряда, очевидно, есть непрерывная функция (как сумма конечного числа непрерывных функций). По теореме 2.5.1 на любом отрезке внутри интервала сходимости степенной ряд сходится равномерно, следовательно, сумма ряда S(x) является непрерывной функцией как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных

функций S(x) li m sn (x) . ■

Теоремы 2.5.1 и 2.5.2 открывают возможности почленного интегрирования и дифференцирования степенных рядов.

Теорема 2.5.3 (о почленном интегрировании степенного ря-

да). Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, лежащему внутри интервала его сходимости, причём радиусы сходимости рядов, полученных почленным интегрированием исходного ряда, совпадают с его радиусом сходимости.

Доказательство. Доказательство теоремы следует из равномерной сходимости степенного ряда на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости, и теоремы о почленном интегрировании

функциональных рядов (теорема 2.3.2). ■

Теорема 2.5.4 (о почленном дифференцировании степенного


ряда). Пусть степенной ряд cn x n		имеет радиус сходимости R . То-
	n 0

гда ряд ncn x n 1 , полученный в результате его почленного диффе-
n 1
ренцирования, также имеет	радиус	сходимости R , и производная

суммы ряда S(x) cn x n	равна сумме ряда G(x) ncn x n 1 , т.е.
n 0		n 1

S (x) G(x) .

Доказательство. Прежде всего, заметим, что вторая часть теоремы следует из первой её части. Действительно, если ряд

ncn x n 1 имеет радиус сходимости R , то согласно теореме 2.5.1 он

n 1

сходится равномерно на любом отрезке внутри интервала сходимости

ряда cn x n . Следовательно, мы можем сослаться на теорему 2.3.3 о

n 0

почленном дифференцировании функциональных рядов. Нам остаётся


найти радиус сходимости ряда ncn x n 1 .
n 1

Пусть R – радиус сходимости ряда cn x n , а	R обозначим
n 0

радиус сходимости ряда ncn x n 1 . Возьмём произвольное x из ин-
n 1

тервала ( R; R) , т.е.	\| x \| R , и выберем число , удовлетворяющее
неравенству \| x \| R . Так как точка		принадлежит интервалу
	45

сходимости ряда cn x n ,

то числовой ряд

cn n

сходится. Следо-

n 0

вательно, его общий член ограничен, т.е.

существует число L такое,

что | c n

| L , n 0, 1, 2,

Оценим модуль n -го члена ряда ncn x n 1 :

n 1

| nc x n 1 | n | c | | x |n 1 n | c n |

n 1

n 1 .

Ряд

li m

ряд

n 1

сходится по признаку Д Аламбера. Действительно,

n 1

un 1

(n 1)

li m

n 1

| x |

| x | 1 .

li m

n 1

L n

Тогда по первому признаку сравнения (теорема 1.4.2) степенной

ncn x n 1 сходится в точке x , причём абсолютно. Из этого сле-

n 1


дует,	что	радиус сходимости	R	ряда ncn x n 1	не	меньше	R :
				n 1

R R . С другой стороны, члены исходного ряда cn x n не превос-
				n 0
ходят	по	абсолютной величине		соответствующих		членов	ряда

ncn x n ,		имеющего тот же	радиус сходимости		R , что и		ряд

n 1

ncn x n 1 : cn x n ncn x n .

n 1

Следовательно, R R . Таким образом, окончательно получаем R R , что и требовалось доказать. ■

§6. Разложение функций в степенные ряды

Сумма всякого сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определённой внутри интервала сходимости этого ряда, а также, может быть, ещё и на его границах. В связи с этим возникают две задачи:

1)по заданному ряду найти функцию, которой равна его сумма на интервале сходимости ряда;

2)по заданной функции найти сходящийся ряд, сумма которого на интервале сходимости равнялась бы заданной функции.

Первая задача называется суммированием сходящегося ряда, а вторая – разложением функции в ряд.

Задача о нахождении суммы произвольного степенного ряда является часто неразрешимой, кроме некоторых частных случаев.

Пример 2.6.1. Найти сумму ряда

12x 3x 2 4x 3

222 23 24

на интервале | x | 2 .

		x	x 2	x 3	x n
Решение. Рассмотрим ряд	1					, получаю-
		2	2	3	n
			2	2	2

щийся почленным интегрированием заданного ряда. При | x | 2 члены этого ряда образуют бесконечно убывающую геометрическую про-

грессию со знаменателем															q					x	и первым членом b 1 .								Найдём
грессию со знаменателем															q						и первым членом b 1 .								Найдём
																			2							1
																			2
сумму S				b1							1								2			.
сумму S			1 q								1 x / 2							2 x				.
Следовательно, имеем
		x				x 2						x 3				x n								2
1																									.
1		2			2							3				2			n				2	x	.
		2			2						2					2							2	x
На основании теоремы 2.5.4 степенной ряд на интервале сходи-
мости можно почленно дифференцировать
1			2x					3x		2				nx			n		1					2		2
1			2x					3x						nx										2		2
																												.
2			2						3					2			n									(2 x)	2	.
2			2						2					2										2 x		(2 x)
Таким					образом,								суммой исходного												ряда	является			функция
S(x)			2				,		\| x \| 2 .

	(2 x)2
Рассмотрим теперь вопрос разложения функций в степенные
ряды.
Если функция f (x)															имеет в некоторой окрестности точки x0

производные всех порядков, то для неё можно записать формулу Тейлора

f (x		)	f (x	0	)	(x x		)	f (n ) (x	0	)	(x x		)n	S (x) ,
f (x	0	)				(x x	0	)				(x x	0	)n	S (x) ,
	0		1 !				0		n !				0		n
			1 !						n !

и справедливо равенство f (x) Sn (x) Rn (x) .

Если остаточный член

Rn (x) формулы Тейлора стремится к нулю

li m Rn (x) 0 , то ряд

f (n ) (x0 )

(x x

сходится, и его суммой будет функция f (x) .

n !

n 0

Представление функции f (x) в виде ряда

f (x) f (x

)

f (x

)

(x x

)

f (n ) (x

)

(x x

1 !

n !

называется разложением этой функции в ряд Тейлора.

В частности при x0

0 разложение в ряд Тейлора называется

разложением в ряд Маклорена

f (n )

(0)

f (x) f (0)

(0)

x n

1 !

n !

Отметим, что остаточный член в формуле Тейлора для функции

f (x)

не обязательно является остатком ряда Тейлора этой функции.

Поэтому из сходимости ряда Тейлора для

f (x) ещё не следует его

сходимость именно к этой функции. Следовательно, при разложении функции в ряд Тейлора следует проверять условие

li m Rn (x) 0 .

Обратим внимание, что в это равенство входит остаток не ряда, а формулы Тейлора. Напомним, что остаток формулы Тейлора может быть представлен в одном из следующих видов:

форма Лагранжа

R (x)

f (n 1) (c)

(x x

)n 1

, c (x

; x) ;

1) !

форма Пеано Rn (x) o (x x0 )n 1 , x x0 ;

форма Коши

R (x)

f (n 1)

(x x

)

)n (x x

)n 1

, где

n !

0 1 .

Все эти формы являются частными случаями общей формы ос-

таточного члена (форма Шлёмильха – Роша)

R (x)	(x )n 1	x x		0	p	f (n 1)	( ) , где	p – произвольное положи-


n	n ! p		x

тельное число, (x0 ; x) .
Теорема 2.6.1. Пусть на некотором отрезке				[x0 R; x0			R]

ряд cn (x x0 )n	сходится к	функции	f (x) ,	т.е.	для		всех
n 0

x [x0 R; x0 R]	выполняется	равенство	f (x) cn (x x0 )n .
				n 0
Тогда этот ряд является рядом Тейлора функции f (x)				и c		f (n ) (x		0	)	.
Тогда этот ряд является рядом Тейлора функции f (x)				и c						.
				n		n !
						n !


Доказательство.	К равенству f (x) cn (x x0 )n приме-
	n 0

ним n раз теорему о почленном дифференцировании степенного ряда

(теорема 2.5.4):

f (n ) (x) n ! c

(n 1) !

(x x

)

(n 2) !

(x x

1 !

2 !

Если в этом равенстве положить x x0 , то все слагаемые спра-

ва, кроме первого, обратятся в нуль. Получим, что f

(n ) (x) n ! c .

Следовательно,

f (n ) (x

)

.■

n !

Из доказанной теоремы вытекает, что, если имеются два разло-

жения одной и той же функции

f (x) в ряд cn (x x0 )n

и в ряд

n 0

bn (x x0 )n ,

то

оба

этих

ряда

совпадают,

т.е.

cn bn

n 0

( n 0, 1, 2, ), и являются рядом Тейлора данной функции.

Удобный для практических приложений признак разложимости

функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой.

Теорема 2.6.2.

Если функция f (x)

имеет производные сколь

угодно высоких порядков и существует такая постоянная C , что для любых x и n выполняется неравенство

| f (n ) (x) | C ,

то

функция

f (x)

разлагается

ряд

Тейлора

f (x)

f (n ) (x0 )

(x x

при любом x .

n !

n 0

Доказательство. Запишем остаточный член формулы Тейло-

ра в форме Лагранжа R

(x)

f (n ) (c)

(x x

)n . По условию теоремы

n !

f (n ) (c)

| x x0

имеем

(x)

(x x

. Переходя в этом

n 1

n !

двойном

неравенстве

пределу

при

n , получим, что

li m Rn (x) 0 .

это

означает

сходимость

ряда

f (n ) (x0 )

(x x )n к функции f (x) . ■

n !

n 0

§7. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

формула Тейлора в данном случае будет иметь вид:

ex 1 x

x 2

x n

x n 1e n

, где 0

x .

2 !

n ! (n 1) !

Для остаточного члена формулы при любом x

имеем

li m R (x) li m

x n 1e n

li m

x n 1ex

ex li m

x n 1

0 .

(n 1) !

n (n 1) !

(n 1) !

Следовательно, ряд x n сходится при любом x , и его сум-

n 0 n !

мой является функция ex .

				n
ex		x			, x .		(2.4)
ex		n !			, x .		(2.4)
	n 0	n !
	n 0		x на x , получим
Заменяя в (2.4)			x на x , получим
			( 1)n x n
e x					n !	, x .	(2.5)
e x						, x .	(2.5)

n 0

7.2. Гиперболические функции f (x) ch x и f (x) sh x .

Используя разложения (2.4) и (2.5), определения гиперболических функций и свойство суммы сходящихся рядов, получим

ch x	ex	e x	1	(ex	e x )	1		x	x	2	x	3
							1
		2	2			2			2 !		3 !

1 x x 2 x 3

2 ! 3 !

1 x 2 x 4

2 ! 4 !

			1		2

			2
			2

x 2n

n 0 (2n) !

2	x 2	2	x 4

	2 !		4 !

ch x

, x .

(2n) !

n 0

e x

(ex

e x )

x 2

x 3

sh x

3 !

1 x

x 2

x 3

x 5

2 !

3 !

5 !

x 3

x 5

x 2n 1

3 !

5 !

(2n 1) !

n 0

sh x

x 2n 1

, x .

n 0

(2n 1) !

7.3. Тригонометрические функции f (x) cos x

и f (x) si n x .

Для функции f (x) cos x

имеем:

f (x) cos x ,

f (0) 1,

f (x) si n x ,

f (0)

0 ,

f (x) cos x ,

f (0) 1 ,

f (x) si n x ,

f (0)

0 ,

f I V (x) cos x ,

f I V (0) 1 ,

………………….

………………

(n )

(0) ( 1)

, n 2m,

(x) cos x n

n 2m

Формула Маклорена тогда имеет вид

cos n

(2n) !

cos x 1

si n n

2 !

4 !

6 !

2n 1

, 0

(2n 1) !

0 li m

x 2n

cos

li m

x 2n

0 и

При любом

x справедливо

(2n) !

0 li m

x 2n 1

si n

li m

x 2n 1

0 ,

т.е.

остаточный член

(2n 1) !

стремится к нулю. Следовательно, можем написать разложение в ряд Маклорена функции f (x) cos x :

		2n
cos x ( 1)n	x		, x .
cos x ( 1)n	(2n) !		, x .
n 0	(2n) !
n 0
Аналогичным образом получается разложение в ряд функции
f (x) si n x :
	x 2n 1
si n x ( 1)n	x 2n 1			, x .
si n x ( 1)n	(2n		1) !	, x .
n 0	(2n		1) !
n 0
7.4. Логарифмическая функция f (x) ln(1 x) .

Рассмотрим степенной	ряд		( 1)n x n		1 x x 2	Этот

n 0

ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической про-

грессии со знаменателем q x и при					\| x \| 1 сходится равномерно.
	b1	1
Его сумма равна S				.
Его сумма равна S	1 q		1 x	.
Из курса интегрального исчисления известно, что
				x	dt

ln(1 x) 0 1 t .

Заметим, что ряд ( 1)n x n удовлетворяет условиям теоремы

n 0

2.5.3, поэтому его можно почленно интегрировать. Заменяя подынтегральную функцию степенным рядом, получим для | x | 1 :

x	dt		x 2	x 3		n x n 1
ln(1 x)		x			( 1)
ln(1 x)	1 t	x	2	3	( 1)		n 1
0

Легко проверить, что при x 1 ряд, стоящий в правой части равенства, расходится, а при x 1 он сходится. Поэтому разложение в степенной ряд логарифмической функции имеет вид

	x n 1
ln(1 x) ( 1)n		, x ( 1; 1] .
	n 1
n 0

7.5. Функция f (x) (1 x)m , где m – произвольное действительное число.

Продифференцируем равенство f (x) (1 x)m n раз:

f (n) (x) m(m 1)		(m n 1)(1 x)m n , тогда
f (n ) (0) m(m 1)		(m n 1) .
Запишем ряд Маклорена
(1 x)m 1 mx		m(m 1)	x 2	m(m 1)	(m n 1)	x n
(1 x)m 1 mx			x 2			x n
	2 !				n !
Если число	m целое и положительное, то в m -том и во всех

последующих коэффициентах появляется равный нулю сомножитель. Поэтому все коэффициенты ряда, начиная с номера m 1 , в данном случае обращаются в нуль, и ряд превращается в конечную сумму – бином Ньютона.

Если же число m нецелое или целое, но отрицательное, то ни один из коэффициентов ряда в нуль не обращается, и получаем бесконечный ряд. Этот ряд называется биномиальным.

Сначала найдём радиус сходимости биномиального ряда. Для этого составим ряд из модулей и воспользуемся признаком Даламбера:

li m	un 1 (x)	\| x \| li m	\| m n \|	\| x \|.
	u (x)		n 1
n		n
	n

Следовательно, при | x | 1 биномиальный ряд абсолютно сходится. Остаточный член формулы Маклорена запишем в форме Коши, учитывая

f (n 1) (x) m(m 1)		(m n 1)(m n)(1
Получим
R (x)	m(m 1)	(m n)(1 x)m n 1

n	n !

x)m n 1 .

(1 )n x n 1 .

Перегруппируем множители в правой части равенства

	(m 1)(m 2)		(m 1 n 1)	n			m 1	1 n
R (x)				x	mx (1	x)
R (x)				x	mx (1	x)
n	1	2	n
	1	2	n					1 x

Теперь правая часть представляет собой произведение трёх сомножителей. Первый из них является общим членом биномиального

ряда, отвечающего показателю (m 1) . Так как при | x | 1 биномиальный ряд сходится для любых показателей, то это выражение при n стремится к нулю. Второй сомножитель в произведении по абсолютной величине лежит в границах, не зависящих от n , | mx | 1 | x | m 1 и | mx | 1 | x | m 1 . Третий множитель также огра-

ничен при	\| x \| 1, так как			1 n		1 . Таким образом,


				1 x
li m Rn (x)	0 , и для всех x ( 1; 1)			имеет место разложение
n
(1 x)m 1 mx		m(m 1)	x 2		m(m 1)		(m n 1)	x n

	2 !						n !

Сходимость биномиального ряда на концах интервала сходимости в точках x 1 зависит от значения показателя m .

Таким образом, получены разложения в ряд Маклорена для следующих элементарных функций:

x	1 x	x	2	x n	, x ,
e
		2 !		n !


cos x 1	x 2		x 4
	2 !		4 !

si n x x		x 3		x5

	3 !		5 !

shx x x 3 x 5

3 ! 5 !

chx 1 x 2 x 4

2 ! 4 !

ln(1 x) x x 2 2

(1 x)m 1 mx

( 1)n

x 2n

x ,

(2n) !

( 1)

x 2n 1

, x

(2n

1) !

x 2n 1

, x ,

(2n 1) !

x 2n

(2n) !

( 1)

x n 1

, x ( 1; 1]

m(m 1) (m n 1) x n n !

, x ( 1; 1] .

Пример 2.7.1. Разложить функцию f (x) ln x в ряд Тейлора по степеням (x 1) , используя известные разложения.

Решение. Сначала преобразуем аргумент данной функции, выделяя выражение (x 1) . Имеем ln x ln(1 (x 1)) .

Теперь	можем			воспользоваться			разложением
	t n 1
ln(1 t ) ( 1)n	t n 1	, полагая t x 1 :
ln(1 t ) ( 1)n		, полагая t x 1 :
n 0	n 1
n 0
ln x ln(1 (x 1)) (x 1)				(x 1)2	( 1)n		(x 1)n
ln x ln(1 (x 1)) (x 1)					( 1)n
			2				n 1
Этот ряд сходится при			1 x 1 1 , т.е.			при x (0; 2) . Ис-

следуем сходимость ряда на концах полученного интервала. Заметим,

что в точке x 0 функция	f (x) ln x	не определена. А при x 2
		( 1)n
получаем условно сходящийся ряд			. Поэтому область схо-
получаем условно сходящийся ряд		n 1	. Поэтому область схо-
	n 0

димость ряда, составленного для данной функции, будет полуинтервал

(0; 2] .

Пример 2.7.2. Разложить функцию f (x) si n x в ряд Тейло-

ра по степеням (x 2) , используя известные разложения.

Решение. Также как и в предыдущем примере, выделим под знаком синуса выражение (x 2) :

si n

(x 2)

si n

cos

Обозначим

(x 2)

воспользуемся разложением

для

t 2n

функции cos t

( 1)n

. Получим

(2n) !

n 0

si n

cos

(x 2)

( 1)

(2n) ! 4

n 0

Полученный ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 2.7.3. Разложить функцию f (x) 38 x 3 в ряд Тейлора по степеням x , используя известные разложения.

Решение. Представим исходную функцию в следующем виде

																																									1
							3																			x 3												x 3				3
							3									3										x 3												x 3				3
				f (x)					8 x										3		8 1										2 1										.
																			3

																											8											2
																											8											2
			Обозначим t																		x	3		и применим, учитывая m																						1	,	разложе-
																					2																								3
																					2																								3
ние
(1 x)m 1 mx																				m(m 1)											(m n 1)						x n
(1 x)m 1 mx																																					x n
																														n !
			Получаем
3												1						x 3						31 ( 32 )										31 (	32 )( 53 )
3				3								1						x 3						31 ( 32 )							6			31 (	32 )( 53 )								9
	8	x				2 1																								x										( x)
	8	x				2 1																					2			x						3				( x)
												3						2					2 ! 8										3 ! 8
												3						2					2 ! 8										3 ! 8
						2 5								(3n 4) x 3n
2 2																									.
2 2											3		n		n !									3n	.
				n 1							3				n !								2
				n 1
			Этот ряд сходится при																					1						x	1 , т.е. при 2 x 2 .
			Этот ряд сходится при																					1							1 , т.е. при 2 x 2 .
																													2
			Проверим сходимость на концах интервала,																																						в точках							x 2 и
x 2 .
				u ( 2)						2 5									(3n 4) ( 2)3n															( 1)3n					2 5						(3n 4)				.
				u ( 2)														3n n !												23n				( 1)3n															.
					n													3n n !												23n													3n n !
				u (2)				2 5										(3n 4) 23n														2 5			(3n 4)									.
				u (2)												3n n !										23n																		.
					n											3n n !										23n									3n n !
			Замечаем,									что					un (2) \| un ( 2) \| .																	Поэтому начнём с исследова-

ния ряда un (2) . Воспользуемся признаком Д Аламбера
					n 1
			u		li m													2 5						(3n 1)3n n !
li m			n 1
li m									3n 1 (n								1) ! 2 5
n			u			n			3n 1 (n								1) ! 2 5											(3n 1)(3n 4)
			n
																1
				li m												1								0				1 ,				следовательно,												ряд				un (2)

											1)(3n 4)
					n 3(n						1)(3n 4)																																					n 1
																																																n 1

сходится. А значит, и ряд un ( 2) также сходится, причём абсолют-

n 1

но. Таким образом, область сходимости полученного ряда является отрезком [ 2; 2] .

§8. Применение степенных рядов

8.1. Приближённое вычисление определённых интегралов

Если первообразная подынтегральной функции не выражается в элементарных функциях, то значение определённого интеграла в этом случае можно приближённо вычислить с помощью рядов.

1/ 3

Пример 2.8.1. Вычислить интеграл e x 2 dx с точностью до

0,001.

Решение. Разложим функцию e x2 в степенной ряд

e x2	1 x 2	x 4		x 6	,

	2 !		6 !

сходящийся на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом промежутке:

1/ 3				1/ 3						x	4		x	6
	2									x			x
	e x	dx					1 x 2									dx
	e x	dx					1 x 2		2 !				6 !			dx
0				0					2 !				6 !
												1
			x 3		x 5			x7				3	1			1		1		1
	x
	x		3	10				42					3			3	3		5	42	7
			3	10				42				0	3		3	3	10		3	42	3
												0			1/ 3
															1/ 3
	Таким					образом,			интеграл							e x 2 dx		равен		сумме		знакочере-
															0

дующегося ряда, для которого выполняются условия теоремы Лейбница. Поэтому остаток ряда, полученного в результате почленного интегрирования, не превосходит модуля первого из отброшенных членов (следствие 1.5.4). Так как

1	1	0, 0004115 0, 001 ,

35 10	2430

то с точностью до 0,001 имеем

1/ 3			1		1
	2		1		1
	e x	dx					0, 321 .
	e x	dx	3		3		0, 321 .
0			3	3		3
							0,2
Пример 2.8.2. Вычислить интеграл								3 1 x 2 dx с точностью
							0

до 0,001.

Решение. К подынтегральной функции применим разложение для

(1 x)m при				m			1	. Получим
(1 x)m при				m			3	. Получим
							3
		1			1				1 1	2			1 1	2	5
(1 x	2		1		1		2		1 1	2		4	1 1	2	5		6
		)3				x					x					x
		)3			3	x			2 ! 3	3	x		3 ! 3	3	3	x
					3				2 ! 3	3			3 ! 3	3	3

Это разложение справедливо для всех x ( 1; 1) . Заметим, что отрезок интегрирования принадлежит области сходимости записанно-


го ряда		[0; 0, 2] ( 1; 1) . Поэтому можно применить теорему о по-
членном интегрировании:
0,2				0,2				x	2		1		x 4	5	x 6
	3 1 x 2 dx				1			x			1			5				dx
	3 1 x 2 dx				1													dx
0				0		3				9		81
		x 3	x5		5		x7						0,2			(0, 2)3			(0, 2)5	5(0, 2)7
		x 3	x5		5		x7						0,2			(0, 2)3			(0, 2)5	5(0, 2)7
x													0, 2
x		9	45		81 7								0, 2				9		45		81 7
		9	45		81 7								0				9		45		81 7
													0
Полученный			числовой ряд										является			знакочередующимся, причём
	(0, 2)5	0, 001 .			Следовательно, для достижения заданной точности
45		0, 001 .			Следовательно, для достижения заданной точности
45

достаточно взять два члена разложения, т.е.

0,2		(0, 2)	3
	3 1 x 2 dx 0, 2			0, 201 .
		9
0

8.2. Интегрирование дифференциальных уравнений

Если дифференциальное уравнение не является интегрируемым в квадратурах, то для его решения используют приближённые методы интегрирования. Одним из таких методов является представление решения в виде ряда Тейлора. В этом случае задача сводится к нахождению коэффициентов ряда.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n -го по-

рядка
y(n) f (x)y(n 1)	f	(x)y f (x)y F(x) .	(2.6)
1	n 1	n
Теорема 2.8.1. Если коэффициенты fn (x) , n 1, 2,			, n , и

правая часть дифференциального уравнения (2.6) разлагаются в степенные ряды по степеням ( x a ), сходящиеся в некоторой окрестности точки x a , то решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

y(a) y0 , y (a) y1 , …, y(n 1) (a) yn 1

( y0 , y1 , …, yn 1 – произвольно заданные числа), разлагается в степен-

ной ряд по степеням ( x a ), сходящийся по крайней мере в меньшем из интервалов сходимости рядов для коэффициентов и правой части уравнения.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Практически решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда можно получить двумя способами: сравнением коэффициентов и последовательным дифференцированием.

Способ сравнения коэффициентов заключается в следующем.

Сначала записывают решение в виде степенного ряда с неопределёнными коэффициентами


y(x) c0 c1 (x 1) c2 (x 1)2	cn (x 1)n .
	n 0

Затем из начальных условий определяют значения коэффициентов c0 , c1 , …, cn 1 . После этого подставляют в дифференциальное уравнение вместо y и производных соответствующие степенные ря-

ды, а вместо коэффициентов и правой части записывают их разложения в степенные ряды по степеням ( x a ). Из полученных таким путём уравнений определяют коэффициенты ряда.

Пример 2.8.3. Найти решение дифференциального уравнения

y xy 0 , удовлетворяющее						начальным условиям y(0) 1 ,
y (0) 0 .
Решение.	Будем	искать		решение		данного уравнения в виде ряда
y(x) c	c x c x2			c x n		Из начальных условий найдём
0	1	2			n
коэффициенты c0		и c1 :
c0	y(0) 1		c0		1 ,
c1 y (0) 0			c1		0 .

Подставим найденные коэффициенты в ряд для y и найдём вторую производную y , получим

y(x) 1 c2x 2 c3x 3 y (x) 2c2 2 3c3x 3 4c4x 2

Затем подставим y и y в уравнение

2c 2 3c x 3 4c x2				(x c x 3	c x 4		) 0 .
2	3	4		2	3

Приведём подобные и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю

x 0 : 2c2 0 c2 0 ;

x1 : 2 3c3 1 0 c3 16 ; x2 : 3 4c4 0 c4 0 ;

x3 : 4 5c5 c2 0 c5 0 ;

x 4 : 5 6c c 0 c								1		.
x 4 : 5 6c c 0 c							2	3	5 6	.
			6		3	6	2	3	5 6
			6		3	6
Таким			образом,			решение данной			задачи Коши имеет вид
y 1	x 3			x 6
y 1	2	3		2 3 5 6
	2	3		2 3 5 6

Полученный ряд, как это следует из теоремы 2.8.1, сходится при всех значениях x .

Способ последовательного дифференцирования заключается в следующем. Для нахождения решения дифференциального уравнения искомое решение ищут в виде ряда Тейлора по степеням (x a) :

			f a			f (n )	a
	y f (a)		( )	(x	a)		( )	(x a)n

		1 !				n !
	При этом значения функции f (a) и первых n 1 производных
f (a) ,	f (a) ,…,	f (n 1) (a)			заданы начальными условиями. Подставляя
их в уравнение,			находят значение производной f (n ) (a) . Последова-

тельным дифференцированием исходного уравнения по переменной x определяют значения производных f (n 1) (a) , f (n 2) (a) ,…, после чего записывают ряд.

Пример 2.8.4. Найти решение дифференциального уравнения

y xy 0 , удовлетворяющее начальным условиям	y(0) 1 ,
y (0) 0 .

Решение. Будем искать решение данного уравнения в виде

							f
y f (0)	f (0)	x	f	(0)	x 2			(a)	x 3

1 !				2 !				3 !
Выразим из уравнения y						и найдём значение второй производ-

ной в точке x 0 , учитывая начальное условие y(0) 1 . Получаем y xy y (0) 0 .

Будем теперь последовательно дифференцировать исходное уравнение по x и подставлять значения x 0 и уже найденных производных, тогда получим


y y xy				y (0) 1 ;
y(I V )	2y xy					y(I V ) (0) 0 ;
y(V )	3y xy					y(V ) (0) 0 ;
y(VI )	4y xy(I V ) y(V ) (0) 4 ; и т.д.
Запишем ряд
y 1		1	x 3		4		x 6

	3 !			6 !

Рассмотренные выше методы решения линейных дифференциальных уравнений можно применить и для решения дифференциального уравнения нелинейного типа. Однако ряд, представляющий собой решение такого уравнения, может сходиться к искомой функции или не сходиться.

Пример 2.8.5. Найти решение уравнения y xyy , удовлетворяющее начальным условиям y(1) 0 , y (1) 1.

Решение. Условия теоремы существования и единственности решения в окрестности точки (1; 0; 1) выполнены, следовательно, искомое ре-

шение

y y(x) существует.

Предположим,

что его можно предста-

вить

виде

ряда

Тейлора

по

степеням

(x 1) :

y(x) c0 c1 (x 1) c2 (x 1)2

cn (x 1)n .

n 0

Так как c0 y(1) , то,

используя начальное условие

y(1) 0 ,

получаем c0

0 . Аналогичным образом находим c1 y (1)

1 . Зна-

чение

второй производной

в точке x 1

находим

их

уравнения:

y (1) 1 y(1) y (1)

1 0 1 0 . Поэтому c

y (1)

0 .

2 !

Последовательно дифференцируя

по

исходное

уравнение,

находим:

y (y ) (xyy ) yy x(y )2

xyy .

Тогда

y (1)

y(1)y (1) 1 (y (1))2

1 y(1)y (1) 1 , откуда

y (1)

3 !

yI V

(y ) (yy x(y )2 xyy )

2(y )2

2yy 3xy y xyy ,

yI V (1) 2 , откуда

yV (yI V ) 9y y 3yy 4xy y 3x(y )2 xyyI V ,

yV (1) 4 ,

следовательно

yV (1)

5 !

120

Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора,

получаем:

y(x)

(x 1)

(x 1)3

(x 1)4

(x 1)5

1 !

3 !

4 !

5 !

(x 1)

2n (x 1)n

n 0

(n 3) !

Этот ряд сходится по признаку Д Аламбера для всех x .

Вопросы и задания для самопроверки

1. Функциональный ряд un (x ) сходится на интервале (a, b) равно-

n 1

мерно к функции S(x) . Может ли быть функция S(x) разрывной на

(a, b) ?


2. Степенной ряд cn x n	сходится в точке x 3 . Что можно сказать
n 1

на основании теоремы Абеля о сходимости этого ряда в точках x1 1 , x2 6 ?


3. Степенной ряд cn x n	расходится в точке x 2 . Что можно ска-
n 1

зать на основании теоремы Абеля о сходимости этого ряда в точках x1 1 , x2 4 ?

4. Пусть функции un (x) , n 1, 2, , непрерывны на отрезке [a, b] и

S(x) un (x) . При каком условии S(x) является непрерывной

n 1

функцией на [a, b] ?

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.05.2015436.74 Кб151UMP_BisnessPlan.doc
#
10.11.201916.52 Mб16UNITS.doc
#
29.05.20152.91 Mб50up-part2.pdf
#
29.05.20157.8 Mб78up.pdf
#
29.05.20151.9 Mб19up.pdf
#
29.05.20151.8 Mб14up_2.pdf
#
25.03.20161.09 Mб18UP_EST_CH1.pdf
#
29.05.20151.43 Mб163UP_Metody.pdf
#
04.11.2018108.54 Кб5Urok_po_Word.doc
#
29.05.20151.85 Mб46Using External Code in LabVIEW.pdf
#
22.11.2019295.94 Кб6ustav.doc