Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Прежде чем получить уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые, вспомним теорему: через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Эта теорема доказывается на основе аксиомы о единственной плоскости, проходящей через три заданные точки, с использованием утверждения: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Таким образом, мы можем задать конкретную плоскость в трехмерном пространстве, указав две параллельные прямые, лежащие в этой плоскости.

Очевидно, что плоскость, проходящая через две заданные параллельные прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных параллельных прямых, а третья лежит на другой прямой.

Теперь можно приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, заданы две параллельные прямые a и b и требуется составить уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b.

Эта задача, также как и задача о нахождении уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, сводится к составлению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Действительно, мы можем определить координаты двух точек М₁ и М₂, лежащих на одной из заданных параллельных прямых, и координаты точки М₃, лежащей на другой прямой. После этого нам лишь нужно написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и , в виде . Это уравнение является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 10-11 классов, указанном в конце статьи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней задана плоскость и точка, не лежащая в плоскости. Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через точкупараллельно плоскости.

Решим ее.

Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости, имеет вид. Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости, если определим координаты ее нормального вектора.

При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей и, нормальным вектором плоскостиявляется любой нормальный вектор заданной плоскости. Таким образом, задача составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точкуМ₁ параллельно заданной плоскости, сводится к определению координат нормального вектора плоскости. В свою очередь координаты нормального вектора плоскостипроще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскостивида. В этом случае коэффициентыA, B,C перед переменными x, y, z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости .

Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точкупараллельно заданной плоскости:

• получаем общее уравнение плоскости в виде(если оно нам уже не дано в условии) и записываем ее нормальный вектор;

• принимаем этот вектор в качестве нормального вектора плоскости ;

• записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор, в виде- это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Следует заметить, что если точка М₁ лежит в плоскости , то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости, которая совпадает с плоскостью.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямаяa и требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точкуМ₁ перпендикулярно к прямой a.

Сначала вспомним один важный факт.

На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 10-11 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).

Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.

В условии задачи нам даны координаты x₁, y₁, z₁ точки М₁, через которую проходит плоскость . Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости, то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости , так как он ненулевой и лежит на прямойa, перпендикулярной к плоскости . Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскостисводится к нахождению координат направляющего вектора прямойa.

В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными способами, зависящими от способа задания прямой a в условии задачи. Например, если прямуюa в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида илипараметрические уравнения прямой в пространстве вида , то направляющий вектор этой прямой имеет координатыa_x, a_y и a_z; если же прямая a проходит через две точки и, то координаты ее направляющего вектора определяются как.

Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точкуперпендикулярно к заданной прямойa:

• находим координаты направляющего вектора прямой a ();

• принимаем координаты направляющего вектора прямой a как соответствующие координаты нормального вектора плоскости(, где);

• записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор, в виде- это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Из найденного общего уравнения плоскости вида можно, при необходимости, получитьуравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.