Содержание

Введение

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

2. Система дифференциальных уравнений

3. Обзор численных методов численного решения

обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

1. Принципы построения, устойчивость и точность численных методов

2. Явные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Явный метод Эйлера

2. Модифицированный метод Эйлера

3. Метод Эйлера – Коши

4. Метод предсказания и коррекции

5. Явные методы Рунге-Кутта

6. Метод Рунге – Кутта – Мерсона

7. Метод Адамса – Башфорта

8. Методы Фельберга

9. Методы Ингленда

10. Методы Нюстрема

11. Явные методы Милна

12. Явные методы Хемминга

13. Экстраполяционные методы

2. Неявные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

   1. Неявный метод Эйлера

   2. Метод трапеций

   3. Метод Адамса – Мултона

   4. Неявные методы Милна

   5. Неявные методы Хемминга

   6. Методы дифференцирования назад

   7. Неявные методы Рунге-Кутта

3. Описание математической модели солнечной системы и параметры ее траектории.

1. Определение и свойства моделей

2. Развитие модели Солнечной системы

3. Описание модели Солнечной системы

   1. Преобразование координат в плоскости орбиты

   2. Определение положения планеты на орбите в новый момент времени

      1. Алгоритм прогнозирование величины радиуса

      2. Алгоритм прогнозирования угла

   3. Дополнительные условия

   4. Вычисление декартовых координат

   5. Начальные данные.

   6. Вычисления и сравнения.

4. Выводы

5. Литература

Приложение А

Приложение Б

Введение

Дифференциальные уравнения являются одним из основных математических понятий, наиболее широко применяемых при решении практических задач. Поскольку при исследовании физических процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости между теми же величинами и их производными или дифференциалами. Соотношения такого рода и называют дифференциальными уравнениями.

Решение задач исследования физических явлений можно разделить на два этапа:

1. Составление дифференциального уравнения, которое при определенных предположениях описывает сущность рассматриваемого явления.

2. Нахождение решения дифференциального уравнения, которое при определенных предположениях описывает сущность рассматриваемого явления.

Возможности и правила составления дифференциальных уравнений определяются знанием законов области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. В механике, например, можно использовать законы Ньютона, в теории электрических цепей – законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций – закон действия масс и так далее.

Однако на практике часто встречаются случаи, когда законы, которые могли бы позволить составить дифференциальное уравнение, неизвестны. Тогда прибегают к различным упрощающим предположениям, касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров-переменных. К дифференциальным уравнениям в таком случае приводит предельный переход. Вопрос соответствия математической модели и реального явления решается на основе анализа результатов опытов и сравнения их с поведением полученного дифференциального уравнения.

Для нахождения решения уравнений применяются аналитические и численные методы. Аналитические методы позволяют найти точное решение задачи, но лишь для ограниченного класса дифференциальных уравнений. С помощью численных методов получают приближенные решения, но для значительно более широкого круга проблем.