1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида

F( t, x(t), x’(t), x’’(t), … , x(n))=0

(1)

где F – функция указанных аргументов, заданная в некоторой области их изменения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. Уравнение (1) является уравнением n-го порядка.

Если в соотношении (1) функция F такова, что его можно представить в виде

x(n) = f(t, x(t), x’(t), x’’(t), …,x(n-1)(t))

(2)

то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Уравнение называется линейным, если функция F линейна относительно искомой функции и ее производных, то есть если уравнение может быть записано в виде

anx(n) + an-1x(n-1) + … + a0(t)x = f(t)

(3)

где a_n(t), a_n-1(t), …, a₀(t), f(t) – известные функции.

Если все функции a_n(t), a_n-1(t), …, a₀(t) не зависят от t, то есть

a_i(t) = a_i = const, i = 0, 1, …, n,

то уравнение (3) называется линейным уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение

anx(n) + an-1x(n-1) + … + a0(t)x = 0

(4)

называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (3).

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функцией x(t), непрерывная на некотором интервале (a, b) вместе со своими производными до (n-1)- го порядка включительно, имеющая производную x⁽ⁿ⁾(t) и такая, что подстановка x(t) в уравнение обращает его в тождество.

Одной из важнейших задач в теории и приложениях дифференциальных уравнений является задача Коши, в которой требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Для уравнения n-го порядка задача Коши ставится следующим образом. Среди всех решений уравнения (2) требуется найти такое решение x(t), что функция x(t) и ее производные до (n-1)-го порядка включительно при заданном значении t₀ независимой переменной t принимаются заданные значения x₀^(k), k = 0, 1,…, n-1, то есть

x(t0) = x0, x’(t0) = x’0,…, x(n-1)(t0) = x0 (n-1)

(5)

Начальные условия (5) рассматриваемые совместно с уравнением, описывающим какой-либо процесс, делают задачу «физически определенной».

Вопрос о единственности решения задачи Коши имеет интерес как для самой теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), так и для различных приложений. Зная, что решение задачи Коши единственно, и находя это решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, модно быть уверенным, что других решений, удовлетворяющих тем же начальным условиям, нет. С точки зрения приложений, это означает, что получен единственный закон, описывающий исследуемое явление. Причем этот закон определяется только дифференциальным уравнением, соответствующим этому явлению, и конкретным и начальными данными.

Общим решением ОДУ n-го порядка в области G  D (где D - некая замкнутая область) называется функция x=x(t, C₁, …, С_n), зависящая от n произвольных постояныых, и такая, что при подстановке в уравнение она обращает его в тождество при любых значениях C₁,…, C_n.

Геометрически общее решение в области G представляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых, полностью покрывающих всю область.

Общим интегралом ОДУ называется соотношение вида (t, x, C₁,…, C_n) = 0 неявно определяющее общее решение.

При конкретных значениях C₁,…, C_n включается ± ∞, из общего решения выделяется частное решение, а общий интеграл становится частным интегралом.

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.

Особое решение не может быть получено из формулы для общего решения (общего интеграла) ни при каких числовых значениях постоянных, включая ± ∞. Геометрически особому решению соответствует интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение.