Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a. Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М₃.

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

• через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;

• если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точкуM₃ проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М₁ и М₂, лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М₁, М₂ и М₃.

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М₁ и М₂, лежащих на прямой a, а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁, М₂ и М₃, которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую aи точку М₃.

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М₁ и М₂, лежащих на заданной прямойa.

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a. Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М₂, также лежащей на прямой a и отличной от точки М₁.

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М₃, не лежащую на прямой a.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Прежде чем приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, напомним одну теорему: в трехмерном пространстве через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Это утверждение является следствием из двух аксиом геометрии:

• через три различные и не лежащие на одной прямой точки проходит единственная плоскость;

• если две несовпадающие точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Таким образом, конкретную плоскость в трехмерном пространстве можно задать, указав две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Теперь покажем, что плоскость, проходящая через две заданные пересекающиеся прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья – на другой прямой.

Пусть заданные прямые a и b пересекаются в точке М. Отметим на прямой a две различные точки М₁ и М₂ (одна из них может совпадать с точкой M), а на прямой b точку М₃, отличную от точки М. Покажем, что плоскость М₁М₂М₃ есть плоскость, проходящая через заданные пересекающиеся прямые a и b.

Так как в плоскости М₁М₂М₃ лежат две точки прямой a (точки М₁ и М₂), то из озвученной в начале этого пункта аксиомы следует, что все точки прямой a лежат в плоскости М₁М₂М₃, в частности, точка М. Тогда в плоскости М₁М₂М₃ лежат все точки прямой b, так как две несовпадающие точки прямой b (точки М и М₃) лежат в указанной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и b, и плоскость, проходящая через три точки М₁, М₂ и М₂, совпадают.

Итак, поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, заданы две пересекающиеся прямые a и b, и требуется написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и b.

Сведем решение этой задачи к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для этого нужно определить координаты двух различных точек M₁ и M₂, лежащих на одной из заданных пересекающихся прямых, и координаты точки M₃, лежащей на другой прямой и не являющейся точкой пересечения заданных прямых. Для нахождения координат точек М₁, М₂ иМ₃ все средства хороши. Например, можно получить параметрические уравнения прямой a в пространстве вида . Из них видны координатыточкиМ₁ (они получаются при ), а координаты точкиМ₂ можно вычислить, придав параметру любое ненулевое действительное значение (к примеру,). После этого можно получить параметрические уравнения прямойb и при некотором значении параметра вычислить координаты точки М₃, не забыв удостовериться, что она не является точкой пересечения заданных прямых (что она не лежит на прямой a).

Будем считать, что координаты точек М₁, М₂ и М₃ найдены. После этого мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три точки ив виде. Вычисливопределитель матицы вида , мы получимобщее уравнение плоскости М₁М₂М₃, которое и будет уравнением плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые a и b.