13. Центр масс. Теорема о движении центра масс.

В ньютоновской механике считается, что масса тела не зависит от его скорости. Но это вовсе не означает, что всегда при движении тела его масса остается постоянной. Она может изменяться за счет обмена веществом между телом и внешней средой. То есть вследствие изменения состава движущегося тела. Типичным примером движения массы является полет ракеты на активном участке ее траектории, то есть в процессе работы установленного на ней двигателя. Продукты сгорания запасенного в ракете топлива выбрасываются через сопло двигателя, и масса ракеты постепенно уменьшается.

Основное уравнение динамики материальной точки (а также поступательно движущегося тела) переменной массы было получено И.В. Мещерским в 1897г. Изменения за малое время dt импульса p системы, состоящей из поступательно движущегося тела переменной массы и отделяющихся от него за это время (или присоединяющихся к нему) частиц, равно

dp=(m+dm)(v+dv)-mv-v₁dm. где m и v – масса и скорость в момент времени; dm и dv – их изменения за малый промежуток времени dt; v₁ – скорость отделяющихся частиц после отделения или присоединяющихся частиц до присоединения. Выполнив преобразования и отбросив член dv и dm, являющийся малым высшего порядка малости по сравнению с остальными, получим:

dp=mdv+(v-v₁)dm или dp=mdv-udm (1), где u=v₁-v – скорость отделяющихся частиц после отделения (или присоединяющихся до присоединения) по отношению к телу переменной массы, называемая относительной скоростью этих частиц. Подставим в выражение 1 закон изменения импульса. (dp/dt=F_внеш)

получим уравнение Мещерского:

m*(dv/dt)=F_внеш+u(dm/dt)

14. Реактивное движение. Формула Циолковского.

Реактивное движение – движение, вызванное отделением от тела частей.

Векторная величина F_p=u*(dm/dt) (1) имеет размерность силы, называется реактивной силой. Она характеризует механическое действие на тело отделяющихся частиц или присоединяющихся к нему частиц (например, действие на ракету вытекающей из нее струи газов).

Циолковский впервые опубликовал в 1903 году формулу для расчета максимальной скорости, которая может развить ракета, двигаясь под действием одной только реактивной силы тяги жидкостных ракетных двигателей. То есть в отсутствии сил тяготения и сопротивления воздуха. Полагая в уравнении Мещерского F_внеш=0 получим: m(dv/dt)=u(dm/dt) (2), где u – скорость истечения продуктов сгорания из сопла ракеты, измеренное относительно ракеты. Если начальная скорость ракеты =0, а траектория - прямая линия, то скорости v и u направлены во взаимно противоположные стороны. В проекции на направление ракеты получим из 2: m(dυ/dt)=-u(dm/dt) или dυ= -u(dm/m) (3). Если m₀ – стартовая масса ракеты, a m^*=m₀-m_т – конечная масса ракеты после окончания двигателя, вследствие выгорания всего топлива (m_т – суммарная масса топлива и окислителя в ракете на старте), то максимальная скорость может быть найдена из формулы 3:

υ_max= -u ln (m_o/m₀-m_т) – формула Циолковского

υ_max – характеристическая скорость ракеты.

Эта формула показывает 1) чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть стартовая масса m_o

2) чем больше u, тем больше может быть масса ракеты при стартовой массе m_0.