Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система исчисления менее привычна для нас, поскольку не используется нами при повседневном счете (конечно, если вы не программист). Данная система исчисления использует следующий базовый набор из 16 цифр {0 , 1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }, поскольку ее основание p = 16. Для отличия от остальных систем исчисления после цифр часто ставят число 16 в индексе – 3FBC27₁₆, или обозначают по-другому.

Согласно формуле (1), количественный эквивалент целого положительного числа в шестнадцатеричной системе отсчета равен:

A₁₆ = a_n-1·16^n-1+a_n-2·16^n-2 + ... + a₁·16¹+a₀·16⁰,(5)

Например,

ABCDEF12₁₆ = (10·16⁷)+(11·16⁶)+(12·16⁵)+(13·16⁴)+(14·16³)+(15·16²)+(1·16¹)+(2·16⁰) = 2882400018₁₀

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры. Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110₂ = (1·2⁷)+(0·2⁶)+(1·2⁵)+(1·2⁴)+(0·2³)+(1·2²)+(1·2¹)+(0·2⁰) = = 128+32+16+4+2 = 182₁₀

Из этого примера видно, в частности, что десятичная система счисления более компактно отображает числа — 3 цифры (т.е. бита) вместо 8 цифр в двоичной системе счисления. Для вычислений "вручную" и решения примеров и контрольных заданий вам могут пригодиться таблицы степеней оснований изучаемых систем счисления (2, 8, 10, 16), приведенные в Приложении.

Перевод чисел из восьмеричной системы в десятичную

Алгоритм перевода чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления аналогичен переводу чисел из двоичной системы в десятичную. Различие состоит лишь в том, что для восьмеричной системы счисления основанием является число8, а правило перевода в данном случае может быть сформулировано в следующем виде:

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного числа.

Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

2357₈ = (2·8³)+(3·8²)+(5·8¹)+(7·8⁰) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 1263₁₀

Для вычислений "вручную" и решения примеров и контрольных заданий могут пригодиться таблицы степеней оснований изучаемых систем счисления (2, 8, 10, 16), приведенные в Приложении.