ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 2015
.docЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Исследование свойств выборочного среднего
Цель работы:
Исследование статистическими методами сходимости по вероятности выборочного среднего.
Основные соотношения:
Выборочное среднее с точки зрения математической статистики есть среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин . Следовательно, если для генеральной существуют конечные математическое ожидание и дисперсия, то для выборочного среднего справедлив закон больших чисел Чебышева.
Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если - последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание и дисперсию , то среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию:
,
или, для любого : при .
Статистически данное утверждение можно проверить следующим образом. Генерируем последовательности случайных величин разной длины, вычисляем среднее значение для каждой последовательности и сравниваем с математическим ожиданием величин (поскольку мы сами генерируем случайные последовательности, то математическое ожидание генеральной совокупности нам известно). Если условия теоремы Чебышева выполняются, то с ростом величина отклонения выборочного среднего от математического ожидания величин должна в среднем уменьшаться. Чтобы учесть случайный характер отклонений, следует для каждой длины последовательности генерировать несколько выборок (последовательностей) значений и сравнивать либо средние значения отклонений для выборок различного объема, либо величины разброса значений . Кроме того, если наблюдается сходимость по вероятности, то всегда можно для заданной величины отклонения и вероятности определить необходимый объем выборки N, так, чтобы . Это можно сделать, например, используя центральную предельную теорему (ЦПТ). Согласно ЦПТ, если - независимые и одинаково распределенные случайных величины, имеющих конечные математическое ожидание и дисперсию , то их среднее (при ) имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Тогда:
,
где - функция Лапласа. Разрешив уравнение:
относительно n, получим необходимый объем выборки N. Определив N, можно убедиться, что величина отклонения не превышает (с вероятностью ), сгенерировав несколько последовательностей длиной N и подсчитав для каждой из них величину отклонения выборочного среднего от математического ожидания.
Если для генеральной совокупности не существует конечного математического ожидания, то сходимость выборочного среднего в этом случае не должна наблюдаться (то есть разброс значений выборочных средних в этом случае с ростом объема выборок не должен уменьшаться).
Задание.
Задан закон распределения случайной величины (приложение 1). Требуется:
a) Для каждого из , сгенерировать, используя генератор случайных чисел пакета EXCEL, по 10 выборок объемом из генеральной совокупности (для генерации случайных чисел распределенных по законам, которые отсутствуют в генераторе случайных чисел пакета EXCEL см. приложение 2). Для каждой выборки определить среднее: , данные представить в виде таблицы:
Выборочное среднее |
||||
N п/п выборки |
n=15 |
n=60 |
n=240 |
n=960 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. Значения выборочных средних для выборок различного объема
Оценить изменение величины разброса с ростом объема выборки. Сделать выводы о сходимости выборочных характеристик.
b) Если наблюдается сходимость выборочного среднего, используя центральную предельную теорему определить для заданной в задании (приложение 1) вероятности и величины отклонения необходимый объем выборки N, так чтобы . Проверить, сгенерировав 10 выборок найденного объема и подсчитав для каждой величину .
Примечание. Указанные в задании действия проделать для каждого из двух законов распределений, указанных в варианте задания.
Приложение 1. Варианты заданий.
Вариант 1.
-
- закон равномерной плотности на (1; 3). , .
-
- закон с плотностью распределения , ., .
Вариант 2.
-
- нормальный закон с параметрами и . , .
-
- закон с плотностью распределения , ., .
Вариант 3.
-
- биномиальное распределение с и . , 9.
-
- закон с плотностью распределения , ., .
Вариант 4.
-
- закон Пуассона с параметром . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 5.
-
- показательный закон с параметром . , .
-
- закон с плотностью распределения , . ,
Вариант 6.
-
- показательный закон с параметром. . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 7.
-
- закон Бернулли с параметром . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 8.
-
- нормальный закон с параметрами и . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 9.
-
- биномиальный закон с параметрами и . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 10.
-
- закон равномерной плотности на (-3; 3). , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 11.
-
- нормальный закон с параметрами и . , .
-
- закон с плотностью распределения , ., .
Вариант 12.
-
- биномиальное распределение с и . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 13.
-
- закон Пуассона с параметром . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 14.
-
- показательный закон с параметром . , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 15.
-
- нормальный закон с параметрами и. , .
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 16.
-
- закон Бернулли с параметром . , .
-
- закон с плотностью распределения , ., .
Вариант 17.
-
- нормальный закон с параметрами и . , .
-
- закон с плотностью распределения , ., .
Вариант 18.
-
- биномиальный закон с параметрами и ., ,.
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Вариант 19.
-
- закон равномерной плотности на . , .
-
- закон с плотностью распределения , ., .
Вариант 20.
-
- показательный закон с параметром . ,.
-
- закон с плотностью распределения , . , .
Приложение 2. Генерация случайных чисел.
Генерация случайных чисел при помощи пакета EXCEL.
Для генерации случайных чисел в пакете EXCEL 2003 выберите меню “Cервис”, “Пакет анализа”, ”Генерация случайных чисел”. Если в меню “Сервис” отсутствует подменю “Пакет анализа”, следует зайти в меню “Сервис”, “Надстройки” и подключить “Пакет анализа”. В EXCEL 2007 выберите меню “Данные”, “Анализ данных”. Если в меню “Данные” отсутствует подменю “Анализ данных”, то следует нажать кнопку “Office”, перейти в “Параметры Excel”, выбрать “Надстройки”, нажать “Перейти” и подключить “Пакет анализа”. Параметры генератора случайных чисел “число переменных” и ”число случайных чисел”. определяют соответственно число столбцов и строк для вывода случайных чисел. Можно использовать, например, “число переменных” для того, чтобы получить сразу несколько независимых выборок-столбцов объема, определяемого параметром “число случайных чисел”.
Генерация случайных чисел по законам, отсутствующим в пакете EXCEL.
Для генерации случайных чисел распределенных по законам, которые отсутствуют в генераторе случайных чисел пакета EXCEL, можно использовать следующие приемы.
-
Воспользуемся следующей теоремой из курса “Теория вероятностей”: Если случайная величина имеет непрерывную и строго монотонную функцию распределения , а величина , то , где - функция обратная к . Итак, если - функция распределения непрерывной случайной величины, для которой можно найти обратную , то генерируя случайную величину , равномерно распределенную на , получим величину с требуемой функцией распределения . Данный прием можно использовать для генерации случайных величин, распределенных по показательному закону, по закону Коши и др.
-
Если случайная величина есть композиция других случайных величин, то генерируем эти величины и строим из них искомую величину. Данный прием можно использовать, например, для получения случайных величин распределенных по законам , Стьюдента и др. Так, случайной величиной, имеющей распределение "хи-квадрат" с степенями свободы называют величину равную сумме квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин, т.е. , . Случайной величиной , имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы называют величину равную , где - случайная величина распределенная по закону , а - независимая от нее случайная величина распределенная по закону хи-квадрат с степенями свободы.
-
Используем “физический” смысл случайной величины. Например, случайная величина, распределенная по геометрическому закону, есть номер первого успешного испытания в бесконечной серии испытаний по схеме Бернулли. Тогда, можно сгенерировать последовательность случайных величин, распределенных по закону Бернулли, и определить порядковый номер всех единиц в этой последовательности, сбрасывая счетчик после появления каждой единицы в ноль. Последовательность номеров, очевидно, будет иметь геометрическое распределение. Приблизительно необходимую длину исходной последовательности можно оценить следующим образом: если - среднее число попыток до наступления успеха, то потребуется в среднем чисел, распределенных по закону Бернулли.