Лабораторная работа Оценка закона распределения на основе выборочных данных.

Цель работы:

Оценка закона распределения генеральной совокупности на основе выборочных данных..

Задание.

Имеется выборка объемом из неизвестного распределения (приложение 3). Предполагается, что может быть одним из следующих распределений:

1) - нормальное распределение с плотностью , , где параметры и - неизвестны;

2) - распределение Лапласа с плотностью , , где параметры и - неизвестны;

3) - распределение Коши с плотностью , , где параметры и - неизвестны;

4) - показательное распределение с плотностью , , где параметр - неизвестен;

5) - распределение Релея с плотностью , , где параметр - неизвестен;

6. - распределение с плотностью , , где параметр неизвестен.

7. - распределение хи-квадрат с с плотностью , где параметр неизвестен.

Требуется:

1. Представить выборку в виде интервальног статистического ряда. При разбивке на интервалы следует следить за тем, чтобы частоты для всех интервалов были одного порядка, причем количество выборочных значений попавших в каждый интервал должно быть не меньше 5 (). В противном случае следует изменять длины интервалов, добиваясь относительно равномерного распределения частот по интервалам.

2. Построить гистограмму и сравнить ее (качественно) с кривыми плотности возможных теоретических распределений.

3. Выдвинуть гипотезу о виде закона распределения (на основе сравнения гистограммы с графиком плотности теоретического распределения). Дополнительно для выбора можно использовать сравнение выборочных значений и с теоретическими: , , где - центральный момент -го порядка, - среднеквадратичное отклонение (теоретические значения и для каждого из возможных распределений предварительно подсчитать).

4. Используя критерий Пирсона на уровне значимости проверить гипотезу . Если гипотеза отвергается, следует выдвинуть другую и аналогично подвергнуть ее проверке.

5. Для принятой гипотезы уточнить значение оценок параметров распределения, используя метод наименьших квадратов (определяем оценки, исходя из минимума статистики критерия Пирсона )

6. Найти реально достигнутый уровень значимости , то есть вероятность того, что при истинности гипотезы значение статистики будет больше наблюдаемого значения статистики :

Приложение 1.

Критерий (Пирсона) для простой гипотезы

Пусть выборка из генеральной совокупности . Проверяется гипотеза против альтернативы .

Представим выборку в виде группированного ряда, разбив предполагаемую область значений случайной величины на интервалов. Пусть - число элементов выборки попавших в -ый интервал, а - теоретическая вероятность попадания в этот интервал при условии истинности . Составим статистику , которая характеризует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от ожидаемых по всем интервалам группирования.

Теорема Пирсона. Если верна, то при фиксированном и

. (1)

Таким образом, статистику можно использовать в качестве статистики критерия согласия для проверки гипотезы о виде закона распределения, который будет иметь вид:

, , (2)

где -квантиль распределения .

Данный критерий называется критерием или критерием согласия Пирсона.

Замечание. Критерий не состоятелен для альтернатив, для которых для всех . Поэтому, следует стремиться к как можно большему числу интервалов группирования. Однако, с другой стороны, сходимость к величины обеспечивается ЦПТ, то есть ожидаемое значение для каждой ячейки не должно быть слишком мало. Поэтому обычно число интервалов выбирают таким образом, чтобы .