- •Часть II
- •Введение
- •Методы сетевого планирования и управления
- •1.1.Сетевая модель и ее основные элементы
- •1.2. Параметры сетевой модели с учетом временных характеристик
- •1.3. Методы расчета параметров сетевой модели
- •Вероятностные модели систем
- •2.1. Ориентированный граф состояния системы. Марковские процессы.
- •2.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний
- •2.3. Системы массового обслуживания (смо)
- •2.3.1. Общая характеристика смо
- •2.3.2. Математическая модель однофазной смо и показатели ее эффективности.
- •2.3.3. Смо с конечной очередью
- •2.3.4. Смо с отказами
- •2.3.5. Чистая смо с ожиданием.
- •2.3.6. Смешанные системы массового обслуживания
- •2.3.7. Особенности применения моделей массового обслуживания
- •Управление запасами
- •3.1. Системы управления запасами
- •3.2.Управление запасами при детерминированном стационарном спросе
- •3.2.1. Мгновенная поставка, возникновение дефицита не допускается.
- •3.2.2.Мгновенная поставка, возникновение дефицита допускается.
- •3.2.3. Поставка с постоянной интенсивностью
- •3.3. Однокаскадные суз при вероятностном дискретном спросе
- •Методы принятия технических решений
- •4.1. Основная формальная структура принятия решений
- •4.1.1. Матрица решений
- •4.1.2.Оценочная функция
- •4.1.3.Особые случаи
- •4.2. Классические критерии принятия решений
- •4.2.1.Минимаксный критерий
- •4.2.2.Критерий Байеса —Лапласа
- •4.2.3.Критерий Сэвиджа
- •4.2.4.Расширенный минимаксный критерий
- •4.2.5.Применение классических критериев
- •4.3. Производные критерии
- •4.3.1.Критерий Гурвица
- •4.3.2.Критерий Ходжа-Лемана
- •4.3.3.Критерий Гермейера
- •4.3.4.Bl(mm)-критерий
- •4.3.5.Критерий произведений
- •4.3.6.Принятие решений согласно производным критериям
- •Литература
- •Часть II
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
2.3.2. Математическая модель однофазной смо и показатели ее эффективности.
1. Математическая модель
Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслуживающими приборами в любой момент времени полностью определяется числом заявок k,находящихся в ней. Действительно, еслиk п,тоkзаявок находятся на обслуживании, очереди нет; kприборов заняты обслуживанием заявок, аn –kприборов свободны. Еслиk > n,то все приборы заняты (nзаявок обслуживается), аk–пзаявок находится в очереди.
Величина kможет принимать значенияk=0, 1, 2, . . .,N,гдеN =n+m, причем для СМО с отказамиm=0, а для систем с неограниченной очередьют и N .
Увеличение числа заявок в системе (переход из состояния Sk в состояниеSk+1) происходит под воздействием потока заявок интенсивности, которая не зависит от k,то есть
k,k+1 =. (2.9)
Уменьшение числа заявок в системе (переход из состояния Skв состояниеSk–1) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивностии потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивностиv, причемk,k+1= f(k, n, , v),а вид этой функции определяется типом СМО.
Из сказанного следует, что однофазной СМО соответствует граф состояний (рис. 2.4),вершины которого (S0,S1,S2, . . .)образуют последовательную цепочку и любые две соседние вершины соединены двумя встречно направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).
Определим предельные вероятности состоянийРk,для СМО с конечным числом состояний. Для СМОPk, –это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровноk заявок.
В СМО с конечным числом состояний всегда имеет место стационарный режим, так как между любыми двумя вершинами графа существует маршрут.
Уравнения Колмогорова имеют вид:
– состояние S0
10P1=01P0 (2.10)
– состояние S1
01P0+21P2=10P1+12P1;
учитывая выражение (2.10),получим
21P2=12P1 (2.11)
– состояние S2
12P1+32P3=21P2+23P2;
учитывая формулу (2.11),имеем
32P3=23P2 (2.12)
— состояние Sk-1(по аналогии)
k,k-1Pk=k-1,kPk-1(2.13)
– состояние SN-1
N-1,NPN-1=N,N-1PN . (2.14)
Для состояния SNнепосредственно по графу находим уравнение
N-1,NPN-1=N,N-1PN ,
которое совпадает с уравнением (2.14).
Поэтому последнее уравнение исключаем из /рассмотрения, а вместо него используем условие нормировки
. (2.15)
Для решения системы уравнений (2.10) – (2.15)выразим все вероятностичерезР0и получим
(2.16)
Подставляя значения Рд в формулу (2.15),получим
(2.17)
Обратим внимание на структуру формул (2.16)и (2.17).В формуле (2.16)имеем произведение отношений интенсивностей перехода слева направо к интенсивностям перехода справа налево для всех переходов между начальной и рассматриваемой вершинами графа состояний. В формуле(2.17)имеем сумму этих произведений, вычисленных для всех вершин графа .
Подставляя в формулы (2.16)и (2.17)значения интенсивностей переходовi,i-1иi-1,i для СМО любого типа, можно рассчитать вероятности ее состояний и определить показатели, эффективности.
2. Показатели эффективности.
Эффективность СМО характеризует ее приспособленность к выполнению задач по обслуживанию заявок. Показатель эффективности – это количественная мера эффективности, определяющая степень соответствия результатов функционирования СМО целям (задачам), стоящим перед системой.
Рассмотрим наиболее часто используемые показатели эффективности СМО.
1. Вероятность отказа в обслуживании Ротк – вероятность того, что поступившая в систему заявка не будет обслужена. Это очень важный показатель для СМО.
Абсолютная пропускная способность СМО Q –это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени. Для оценки потенциальных возможностей СМО по обслуживанию заявок используется номинальная пропускная способность системы
.
3.Относительная пропускная способностьq – это средняя доля заявок, обслуживаемых системой:
. (2.18)
Величину qможно определить и черезРотк. Действительно,Ротк– средняя доля времени, в течение которого заявки получают отказ, а следовательно, и средняя доля заявок, не принимаемых системой на обслуживание, то есть.
. (2.19)
4. Среднее число занятых приборов
, (2.20)
где – параметр обслуживания (среднее необходимое число обслуживающих приборов).
Производными от данного показателя являются коэффициент занятости (загрузки) приборов Kзи коэффициент их простояKп:
, (2.21)
где – номинальный коэффициент загрузки приборов.
5. Средняя длина очереди L – математическое ожидание числа заявок, ожидающих обслуживания. Производным от показателейNзи Lявляется среднее число заявок, находящихся в системе,
Y=Nз+L. (2.22)
6. Среднее время ожидания обслуживания – математическое ожидание времени пребывания заявки в очереди.
7.Среднее время пребывания заявки в системе
, (2.23)
где – среднее время от момента начала обслуживания до момента окончания обслуживания ().
8.Экономическая эффективность СМО может быть оценена средней прибылью, получаемой в единицу времени при функционировании системы :
; (2.24)
где c0 –прибыль, получаемая при обслуживании заявки;c – функция стоимости потерь;cз – стоимость эксплуатации прибора в единицу времени;сп —стоимость единицы времени простоя прибора;сож –стоимость потерь, связанных с простаиванием заявка в очереди в единицу времени;сy – стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы.
Выбор показателя для оценки эффективности конкретной СМО определяется как особенностями системы (ее типом) и ее назначением, так и задачами проводимого исследования.
Определим показатели эффективности для СМО рассматриваемых типов, при этом сначала рассмотрим систему с конечной очередью, а затем полученные результаты используем при анализе других систем.