4.2.2.Критерий Байеса —Лапласа

При построении оценочной функции Z_MM (согласно ММ-кри­терию) каждый вариантEiпредставлен лишь одним из своих результатов . Критерий Байеса—Лапласа (BL), напротив, учитывает каждое из возможных следствий.

Пусть q_j – вероятность появления внешнего состоянияF_j; тогда для BL-критерия

, (4.11)

, (4.12)

(4.13)

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений ||е_ij|| дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те вариантыЕ_i0,в строках которых сто­ит наибольшее значение e_irэтого столбца.

При этом предполагается, что ситуация, в которой прини­мается решение, характеризуется следующими обстоятельст­вами:

– вероятности появления состояний F_jизвестны и не зави­сят от времени;

– решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

– для малого числа реализации решения допускается неко­торый риск.

При достаточно большом количестве реализации среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически ис­ключен.

Исходная позиция применяющего BL-критерийоптимистич­нее, чем в случае ММ-критерия, однако она предполагает бо­лее высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

4.2.3.Критерий Сэвиджа

Рассмотрим более подробно критерий Сэвиджа, вве­денный выше соотношением (4.7).С помощью обозначений

(4.14)

и

(4.15)

формируется оценочная функция

(4.16)

и строится множество оптимальных вариантов решения

E₀= . (4.17)

Для понимания этого критерия определяемую соотношением (4.14)величину можно трактовать как макси­мальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянииF_jвместо варианта E_iвыбрать другой, оптималь­ный для этого внешнего состояния вариант. Мы можем, однако, интерпретироватьа_ij, и как потери (штрафы), возникающие в состоянии F_jпри замене оптимального для него варианта на вариант E_i.Тогда определяемая соотношением (4.15)величинаe_irпредставляет собой –при интерпретацииа_ijв качестве по­терь – максимальные возможные (по всем внешним состояниям F_j,(j=1, ...,n) потери в случае выбора варианта E_i.Те­перь, согласно (4.16)и (4.17),эти максимально возможные поте­ри минимизируются за счет выбора подходящего варианта E_i.

Соответствующее S-критериюправило выбора теперь интер­претируется так:

Каждый элемент матрицы решений ||е_ij|| вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца.

Разности a_ijобразуют матрицу остатков ||a_ij||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностейе_ir. Выбира­ются те вариантыЕ_i0,в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

По выражению (4.16)оценивается значение результатов тех состояний, которые, вследствие выбора соответствующего рас­пределения вероятностей, оказывают одинаковое влияние на ре­шение. С точки зрения результатов матрицы ||е_ij||S-критерий связан с риском, однако, с позиций матрицы ||a_ij||, он от риска свободен. В остальном к ситуации принятия решений предъяв­ляются те же требования, что и в случае ММ-критерия.

4.2.4.Расширенный минимаксный критерий

Рассмотрим в заключение еще один метод, допускающий интерпретацию в качестве расширенного минимаксного крите­рия. В нем используются понятия теории вероятностей, а также теории игр. В технических приложениях этот критерий до сего времени применяется мало.

Основным здесь является предположение о том, что каждому из nвозможных состоянийF_jприписана вероятность его появленияq_j: .

Сформируем из n вероятностейq_j векторq = (q₁, …, q_n) и обозначим черезW⁽ⁿ⁾множество всехn-мерных вероятностных векторов. Выбор какого-либо варианта решенияE_iприводит при достаточно долгом примененииE_iк среднему результату . Если же теперь случайным образом с распределением вероятностейp=(p₁,…,p_m)W^(m)смешатьm вариантов решенийE_i, то в результате получим среднее значение

.

В реальной ситуации вектор q=(q₁, …,q_n), относящийся к состояниямF_j, бывает, как правило, неизвестен. Ориентируясь применительно к значениюe(p,q) на наименее выгодное распределениеqсостоянийF_j и добиваясь, с другой стороны, максимального увеличенияe(p,q) за счет выбора наиболее удачного распределенияpвариантов решенияE_i, получают в результате значение, соответствующее расширенному ММ-критерию.

Обозначим теперь E(p) обобщенный вариант решения, определяемый с помощью выбора вероятностного вектора , а через – множество всех таких критериев.

E(p₀) = {E(p₀)|E(p₀) e(p₀,q₀) =},

где p– вероятностный вектор дляE_i, аq – вероятностный вектор дляF_j.

Таким образом, расширенный ММ-критерийзадается целью найти наивыгоднейшее распределение вероятностей на множестве вариантов E_i, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состоянийF_j. Поэтому предполагается, чтоF_jраспределены наименее выгодным образом.