4.1.3.Особые случаи

Схематическое сопоставление всех возможных полезностей e_ijразличных решений в матрице табл. 4.1облегчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта мат­рица может быть меньшего объема (табл. 4.4)и даже выро­диться в единственный столбец, если будет представлена пол­ная информация о том, с каким внешним состояниемF_jследует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различ­ных технических решений. Матрица решений может, однако, свестись и к единственной строке (табл. 4.5).В этом случае мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией приня­тия решений, когда в силу ограничений технического характе­ра, внешних условий и других причин остается единственный вариант E_i,хотя его дальнейшие последствия зависят от внеш­него состоянияF_j, и поэтому результат решения оказывается неизвестным.

Случается и так, что некоторый вариант решения, например E_k,оказывается настолько удачным, что для другого вариантаE_lиз матрицы решений выполняются неравенствае_kj  е_ljдляj= 1, ...,п.Тогда говорят, что вариантE_kдоминирует над ва­риантом E_l.Вариант E_kв этом случае с самого начала оказы­вается лучшим, а вариант E_l,напротив, не представляет далее интереса. Более подробно понятие доминирования будет рас­смотрено в конце раздела 4.5.

Ради возможности графической интерпретации вернемся еще раз к решениям с двумя только внешними состояниями F₁иF₂.Все варианты, доминирующие над точкой РТ, лежат на рис. 4.1в конусе предпочтения (то есть в Iквадранте), а вариан­ты, над которыми РТ доминирует, расположены в антиконусе (в IIIквадранте). Следовательно, для формального оценива­ния остаются точки из IIи IVквадрантов, первоначально на­званных областями неопределенности. Этими областями мы займемся в следующей главе. В этих квадрантах будут найде­ны варианты, оптимальные в смысле различных критериев, и даны их количественные оценки. Для этого соответствующие функции предпочтения должны быть в обеих областях разум­ным образом упорядочены.

2. 4.2. Классические критерии принятия решений

4.2.1.Минимаксный критерий

Минимаксный критерий (ММ) [10]использует оценочную функцию (2.6),соответствующую позиции крайней осторожно­сти.

При

(4.8)

и

(4.9)

справедливо соотношение

(4.10)

где z_mm —оценочная функция ММ-критерия.

Поскольку в области технических задач построение множе­ства Евариантов уже само по себе требует весьма значитель­ных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рас­смотрении с 'различных точек зрения, условиевключа­ется во все критерии. Оно должно напоминать о том, что сово­купность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выби­раемого варианта.

Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений ||е_ij|| дополняется еще одним столбцом из наименьших результатове_irкаждой строки. Выбрать надле­жит те вариантыЕ_i0,в строках которых стоят наибольшие значенияе_irэтого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столк­нуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориенти­руется. Какие бы условия F_jни встретились, соответствующий результат не может оказаться нижеZмм. Это свойство застав­ляет считать минимаксный критерий одним из фундаменталь­ных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем это на небольшом примере (табл. 4.6).

Хотя вариант E₁кажется издали более выгодным, согласно ММ-критерию оптимальным следует считатьE₀={E₂}. Приня­тие решения по этому критерию может, однако, оказаться еще менее разумным, если

– состояние F₂встречается чаще, чем состояниеf₁, и

– решение реализуется многократно.

Таблица 4.6.

Пример вариантов решения без учета риска

	F1	F2	eir
E1	1	100	1
E2	1,1	1,1	1,1	1,1

Выбирая вариант E_i,.предписываемый ММ-критерием, мы, правда, избегаем неудачного значения 1,реализующегося в ва­рианте E₁при внешнем состоянииF₁,получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1,1,зато в состоянииF₂теряем выигрыш 100,получая всего только 1,1.Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуа­циях пессимизм минимаксного критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение ММ-критерия бывает оправданно, если ситуа­ция, в которой принимается решение, характеризуется следую­щими обстоятельствами:

– о возможности появления внешних состояний f_j ничего не известно;

– приходится считаться с появлением различных внешних состояний F_j;

– решение реализуется лишь один раз;

– необходимо исключить какой бы то ни было риск, то есть ни при каких условиях F_jне допускается получать результат, меньший, чемz_mm.