72

Евгений Сергеевич Голик

Математические методы

системного анализа и

теории принятия решений

Часть II

Учебное пособие

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

0 МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ 4

1.1.СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 4

1.2. ПАРАМЕТРЫ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 10

1.3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ 16

1 Вероятностные модели систем 24

2.1. ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ. 24

2.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний 29

2.3. Системы массового обслуживания (СМО) 31

2.3.1. Общая характеристика СМО 31

2.3.2. Математическая модель однофазной СМО и показатели ее эффективности. 35

2.3.3. СМО с конечной очередью 39

2.3.4. СМО с отказами 42

2.3.5. Чистая СМО с ожиданием. 42

2.3.6. Смешанные системы массового обслуживания 44

2.3.7. Особенности применения моделей массового обслуживания 46

2 Управление запасами 50

3.1. Системы управления запасами 50

3.2. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ СТАЦИОНАРНОМ СПРОСЕ 58

3.2.1. Мгновенная поставка, возникновение дефицита не допускается. 59

3.2.2.Мгновенная поставка, возникновение дефицита допускается. 61

3.2.3. Поставка с постоянной интенсивностью 63

3.3. ОДНОКАСКАДНЫЕ СУЗ ПРИ ВЕРОЯТНОСТНОМ ДИСКРЕТНОМ СПРОСЕ 65

3 МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 71

4.1. ОСНОВНАЯ ФОРМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 71

4.1.1. Матрица решений 71

4.1.2. Оценочная функция 74

4.1.3. Особые случаи 81

4.2. КЛАССИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 83

4.2.1. Минимаксный критерий 83

4.2.2. Критерий Байеса — Лапласа 84

4.2.3. Критерий Сэвиджа 85

4.2.4. Расширенный минимаксный критерий 86

4.2.5. Применение классических критериев 87

4.3. ПРОИЗВОДНЫЕ КРИТЕРИИ 90

4.3.1. Критерий Гурвица 90

4.3.2. Критерий Ходжа-Лемана 91

4.3.3. Критерий Гермейера 92

4.3.4. BL (MM)-критерий 93

4.3.5. Критерий произведений 95

4.3.6. Принятие решений согласно производным критериям 97

Литература 101

1. Введение

Современные промышленные, научно-производственные, экономические и другие комплексы, включающие оборудование, людей, транспорт и объединенные в административные и хозяйственные подразделения, а также потребителей и среду, образуют сложную разветвленную схему взаимодействующих друг с другом факторов.

Это неизбежно приводит к формированию системного подхода к решению задач оптимального планирования, задач определения структур систем управления и нахождения оптимальных алгоритмов управления.

Этим вопросам и посвящено настоящее учебное пособие. Его основная цель – развить у студентов системное мышление и научить применять процедуры и методы построения моделей и получения с их помощью управленческих решений.

Рассматриваются задачи следующих классов: управления запасами, массового обслуживания, сетевого планирования и управления, упорядочения и распределительные.

0. Методы сетевого планирования и управления

   1. 1.1.Сетевая модель и ее основные элементы

При управлении разработками сложных программ и системами возникает задача рационального планирования и координации большого комплекса различных работ (операций, действий).

Характерным для сложных комплексов связанных между собой работ является то, что отдельные работы не могут быть вы­полнены независимо друг от друга, выполнение ряда работ не мо­жет быть начато раньше, чем завершены другие.

Системы сетевого планирования и управления (СПУ) обеспечи­вают системный подход к решению вопросов организации управле­ния, то есть рассмотрение всего комплекса работ как единого неразрывного комплекса взаимосвязанных работ, направленных на достижение общей конечной цели. Логико-математическое описание, формирование планов и управляющих воздействий осуществляется на базе использования особого класса моделей, называемых сетевыми моделями. Поэтому естественно начать изложение с установления понятия сетевой модели.

Ориентированный граф, в котором существует лишь одна вер­шина, не имеющая входящих дуг, и лишь одна вершина, не имею­щая выходящих дуг, называется сетью. Сеть, моделирующая комплекс работ, называется его сетевой моделью или сетевым гра­фиком. Дуги, соединяющие вершины графа, ориентированы в на­правлении достижения результата при осуществлении комплекса работ.

Наиболее распространен способ представления моделируемого комплекса работ в понятиях работ и событий.

Понятие «работа» имеет следующие значения:

• «действительная работа» – процесс, требующий затрат вре­мени и ресурсов;

• «фиктивная работа» – логическая связь между двумя или несколькими работами, указывающая на то, что начало одной ра­боты зависит от результатов другой. Фиктивная работа не тре­бует затрат времени и ресурсов, продолжительность ее равна нулю.

На сетевых моделях работам соответствуют дуги, причем дей­ствительные работы изображаются сплошными линиями, а фик­тивные – пунктирными.

Понятие «событие» означает факт получения результата вслед­ствие завершения одной или нескольких работ. Каждая работа заключена между двумя событиями, так как с события, завер­шающего одну или несколько работ, начинаются другие работы. Событие может наступить только тогда, когда окончатся все пред­шествующие ему работы.

Событие, с которого начинается выполнение всех работ комп­лекса, называется исходным. Исходное событие не имеет предше­ствующих ему работ и событий.

Событие, которым заканчивается весь комплекс работ, назы­вается завершающим. Завершающее событие не имеет последую­щих работ и событий.

Событие, непосредственно предшествующее работе (с которого начинается работа), называется начальным, а непосредственно следующее за ней (которым заканчивается работа) – конечным.

На сетевой модели событиям соответствуют вершины графа.

Любая последовательность работ в сетевой модели, в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем. Путь от исходного события до завершающего называется полным путем.

Каждой дуге сетевой модели приписывают число, которое на­зывается длиной дуги. Соответственно длиной пути называется сумма длин последовательности дуг, составляющих данный путь. Длина дуги выражает время, необходимое для выполнения работы, представленной данной дугой. Поэтому длина пути (или продол­жительность пути) есть суммарная продолжительность работ, со­ставляющих данный путь.

Начальная информация, необходимая для построения сетевой модели, должна содержать перечень всех работ и последователь­ность их выполнения, то есть отношения непосредственного предшест­вования между работами комплекса.

Пусть информация о комплексе работ задана табл. 1.1, в кото­рой работы условно обозначены символами а₁, a₂, . . .. Из табли­цы видно, что работыа₁, а₅, а₆не имеют предшествующих, поэтому в сетевой модели дуги, соответствующие этим работам, будут выхо­дить из исходного события комплекса. Работыа₁₂, a₁₃, a₁₄не пред­шествуют никаким другим работам, и поэтому дуги, соответствую­щие этим работам, будут входить в завершающее событие комп­лекса. Конечное событие работыа₁является начальным событием для работa₂,a₂,a₂; конечное событие для работыa₂является на­чальным для работыa₁₄и так далее Сетевой график комплекса изобра­жен на рис. 1.1.

Работы (дуги) на сетевых графиках обозначают символом (i, j), гдеi– номер начального события работы, аj– номер ко­нечного события. События должны быть пронумерованы так, что­бы для любой работы (в том числе и фиктивной) всегдаi < j. Для получения такой нумерации применяется метод разделения собы­тий на ранги. Сущность метода заключается в следующем.

Таблица 1.1

Комплекс работ

Работа	Каким работам непосредственно предшествует	Работа	Каким работам непосредственно предшествует
a1	a2, a3,a4	a8	a12
a2	a14	a9	a11, a13
a3	a11, a13	a10	a12
a4	a9, a10	a11	a14
a5	a9, a10	a12	–
a6	a7, a8	a13	–
a7	a9, a10	a14	–

Рис. 1.1. Сетевой график

Исходному событию присваивается нулевой ранг. Вычеркнув все дуги, выходящие из исходного, получим несколько (или, по крайней мере, одно) событий без входных дуг. Этим событиям присваивается первый ранг. Вычеркнув все дуги, выходящие из со­бытий первого ранга, снова получим события без входящих дуг, которым присваивается второй ранг. Вычеркнув далее все дуги, выходящие из событий второго ранга, получим события без входящих дуг, которым присваивается третий ранг, и так далее

Легко видеть, что событие любого ранга связано с событием предшествующего ранга одной дугой. Следовательно, событие k-го ранга обязательно связано с исходным событием путем, со­стоящим изkдуг; хотя, кроме того, событиеk-го ранга может быть соединено с исходным событием и путем, состоящим из мень­шего числа дуг. Так, например, событие 6 на сетевом графике рис. 1.1 связано с исходным событием тремя путями: 1) путем, состоящим из дуг (0, 1), (1, 6); 2) путем, состоящим из дуг (0, 3), (3, 4), (4, 6) и 3) путем, состоящим из дуг (0, 1), (1, 3), (3, 4), (4, 6). Ранг события 6 равен 4, так как последний путь содержит максимальное число дуг, равное 4.

Событию присваивается ранг k,если максимальное число дуг пути, соединяющего его с исходным, равноk.

После распределения всех событий по рангам нумерация осу­ществляется следующим образом. Исходное событие нулевого ран­га получает номер 0. Событиям первого ранга в произвольном по­рядке присваивают номера 1, 2, . . ., n₁, гдеп₁ – число событий первого ранга; события второго ранга получают номераn₁+1,n₁+2, . . .,n₁+ n₂ гдеп₂ – число событий второго ранга, и так далее

Так как события одного ранга между собой не соединены, а со­бытия меньшего ранга имеют меньший номер, то для любой дуги (i, j) всегдаi < j.

Рассмотренный метод нумерации событий также называют ме­тодом последовательного вычеркивания дуг.

Заметим, что нумерация событий, при которой для любой дуги (i, j)всегдаi < jобязательна при машинных методах расчета па­раметров сетевых моделей.

В зависимости от задач управления в системах СПУ применяют различные типы сетевых моделей, отличающиеся составом инфор­мации о комплексе работ. Среди них можно выделить два основ­ных типа: модели с учетом только временных характеристик (огра­ничения на ресурсы не накладываются) и модели с учетом времен­ных и ресурсных характеристик.

Модели первого типа не являются оптимизационными. Но, не­смотря на это, их применение в системах СПУ позволяет эффек­тивно решать существенные проблемы управления, а именно – найти минимальное время, в течение которого может быть выпол­нен весь комплекс, и определить календарные сроки начала и окон­чания каждой работы комплекса, обеспечивающих выполнение все­го комплекса в найденное минимальное время.

Модели второго типа относятся к задачам распределения ре­сурсов. Эти задачи являются оптимизационными и встречаются в разных постановках. В зависимости от принятого критерия опти­мальности и характера ограничений их можно разбить на две ос­новные группы:

• задачи минимизации сроков наступления завершающего события при соблюдении заданных ограничений на использование ресурсов;

• задачи оптимизации некоторого показателя качества исполь­зования ресурсов при заданных сроках выполнения комплекса. К этой группе относится, в частности, задача минимизации ресурсов при заданном времени выполнения комплекса.

Основной временной характеристикой комплекса работ и каж­дой отдельной работы является их продолжительность. Оценки продолжительности выполнения отдельных работ могут быть де­терминированными и вероятностными. Первые используются в тех случаях, когда предполагаемая продолжительность работ может быть оценена точно с относительно небольшой ошибкой. Если же продолжительность работы не поддается точному определению и представляет собой случайную величину, используются вероятно­стные оценки. В первом случае сетевая модель называется детер­минированной, во втором – вероятностной.

Сетевые модели могут быть также смешанными, поскольку для некоторых работ могут существовать детерминированные оценки, а для некоторых вероятностные.

Продолжительность работы (i, j) обозначают черезt_ij. Оценка величиныt_ij может производиться:

– по действующим нормативам;

– по накопленным данным с достаточно высоким процентом повторяемости работ;

– методом экспертных оценок;

– на основе вероятностных оценок.

На основании статистических данных установлено, что распре­деление случайной величины t_ijопределяется так называемым бе­та-распределением. Это распределение имеет место в тех случаях, когда случайная величина зависит от большого числа случай­ных факторов, оказывающих незначительное влияние, и от не­скольких существенно влияющих факторов.

В системах СПУ используются три вероятностные оценки:

a_ij –минимальное время, необходимое для выполнения работы при наиболее благоприятных условиях;

b_ij –максимальное время, необходимое для выполнения ра­боты при наименее благоприятных условиях;

m_ij –наиболее вероятное время выполнения работы при нор­мальных, наиболее часто встречающихся условиях.

Все эти оценки даются ответственными исполнителями или экспертами.

Величины a_ij,b_ijиm_ijиспользуются для вычисления ожидае­мого значения продолжительности работы, представляющего со­бой математическое ожидание случайной величиныt_ij, и дисперсииD_ij.Полученные значенияиD_ijявляются характеристи­ками случайной величиныt_ij,распределенной по закону бета-рас­пределения. Кривая бета-распределения изображена на рис. 1.2.

В

Рис. 1.2

следствие различного подхода к учету возможного отклонения реального закона распределения от принятого бета-распределения и ошибок в определении исходных величинa_ij,b_ijиm_ij, а также некоторых других факторов создано несколько формул для вычис­ленияиD_ij.Из них в системах СПУ наиболее широко при­меняются следующие:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

По степени охвата работ различают первичные, частные и комплексные сетевые модели.

Первичные сетевые модели представляют собой детализирован­ные изображения частей комплекса и составляются ответственны­ми исполнителями работ. Частные сетевые модели строятся на ос­нове первичных. Сшивание частной модели заключается в объеди­нении первичных моделей в одну общую модель, завершающее со­бытие (события) которой соответствует заданной частной цели (целям). Для сшивания частной модели необходимо строго уста­новить идентичность граничных событий в первичных сетевых мо­делях.

Комплексная (сводная) сетевая модель охватывает все работы комплекса. Сшивание комплексной модели производится анало­гично сшиванию частных моделей.

На высоких уровнях управления неудобно пользоваться дета­лизированными сетевыми моделями, поэтому производится их укрупнение. При укрупнении модели должны соблюдаться сле­дующие правила:

– участок модели (группа взаимосвязанных работ) может быть заменен одной укрупненной работой, если этот участок имеет одно исходное и одно завершающее событие. Продолжительность такой укрупненной работы равна продолжительности критическо­го пути данной группы работ;

– нельзя вводить в укрупненную модель события, которых нет в детализированной модели;

– исходное и завершающее события в детализированной и укрупненной моделях должны иметь одинаковый смысл:

– объединять в одну работу следует только такие группы ра­бот, которые закреплены за одним ответственным исполнителем.