11_Дифракционная Решетка
.pdf
пикселях от каждого максимума до нулевого максимума (т.е. расположенного под углом 0 по отношению к исходному направлению луча света от лазера)– это просто разница координат конкретного максимума и нулевого (пример в таблице 2). Эти результаты следует занести в третью колонку табл.2.
Затем расстояния дифракционных максимумов от нулевого максимума, из единиц – пиксели, должны быть переведены в миллиметры – для записи этих результатов предназначена четвертая колонка таблицы. Для учета масштаба изображения на мониторе ПК, следует из таблицы 1 взять расстояние в пикселях между двумя метками 1 и 2 линейки экрана (обозначим его как ML). В качестве меток можно рекомендовать деления 10 см и 20 см линейки. В пикселях, согласно примеру табл.1, это расстояние равно 164 пкс. Расстояние максимума K от нулевого максимума в пикселях, обозначим как XL. Тогда следующая формула позволит перевести расстояние, указанное в пикселях, в расстояние в миллиметрах (обозначим его как L2):
(7)
где XL – расстояние в пикселях от центрального максимума с номером 0 до максимума с номером К, ML – расстояние в пикселях между метками 1 и 2, CL – тот же параметр ML, но уже в миллиметрах, в нашем случае 100 мм.
Пятая колонка таблицы 2 посвящена вычислениям синуса угла ак отклонения луча света, для каждого максимума K, от направления исходного луча лазера. Схема, представленная на рис.13, иллюстрирует этот расчет.
Рис.13.Луч (x-y) направлен на нулевой максимум на экране, луч (x-z) направлен на максимум с номером К, длина отрезка (y-z) на экране равна расстоянию между нулевым максимумом и максимумом номера К.
Лучи (x-y) и (x-z) образуют угол а между собой. Фигура (x-y-z) являет
собой прямоугольный треугольник, синус угла а, которого, требуется найти. Соответственно,
, |
(8) |
где
11
(9)
Расстояние от дифракционной решетки до экрана L1 фиксировано и равно 50 см (или 500 мм). Величину L2 определяем с помощью экранных измерений, (четвертая колонка в таблице 2). В итоге, можно определить синус угла ак для каждого максимума K и занести этот результат в пятую колонку табл.2. Примеры расчетов синусов даны в этой же таблице.
Последняя, шестая колонка табл.2 предназначена для значений длины волны света, рассчитанных с помощью формулы (10):
|
. |
(10) |
|
Примеры расчета длины волны света также даны в таблице 2, они должны быть близки по величине, не обязаны точно совпадать друг с другом. Связано это с наличием неизбежных погрешностей измерений, приводящих к некоторому небольшому «разбросу» результатов в повторных измерениях.
3.2.Порядок выполнения эксперимента
Установите ту дифракционную решетку, которую порекомендует преподаватель (обычно, это решетка с 50 штрихами на 1мм). Затем приготовьте для записей таблицы 1 и 2.
Двойным щелчком мыши по значку 
на рабочем столе ПК запустите программу работы с веб-камерой (камера включится). Также нажмите кнопку включения источника света, показанную на рис.8. На экране лабораторной установки появится дифракционная картина, а на мониторе ПК вы увидите изображение этой картины (рис.14).
Рис.14. Результат включения лазера и веб-камеры
12
Кнопкой окна веб-камеры «развернуть на весь экран» увеличьте изображение с камеры так, как показано на рис.15.
Рис.15. Изображение с камеры во весь экран
Теперь требуется сохранить в памяти ПК снимок этого экрана, т.к. все дальнейшие измерения будут связаны с ним. Кроме того, этот снимок будет вашей архивной копией (на время текущего семестра), свидетельствующий о выполнении вами данной лабораторной работы. Для сохранения копии экрана ПК зайдите в верхней части экрана в меню «Запись» (рис.16).
Рис.16. Открыт пункт меню «Запись».
В этом пункте меню следует выбрать пункт «Снять картинку» (рис.17).
Рис.17. Выбор «Снять картинку».
13
Откроется окно папки «Изображения» (рис.18).
Рис.18.
В нём вы увидите ваш, уже сохраненный файл, выделенным. Название файлу будет компьютером дано автоматически. Переименуйте его по своему усмотрению, например, АT_213_Иванов_дифракция. Это не даст вашему файлу затеряться среди других аналогичных файлов.
Далее щелкните по вашему файлу правой кнопкой мыши. Если помните, то это вызывает меню дальнейших действий с вашим файлом (рис.19).
Рис.19. Меню работы с файлом
Нам потребуется открыть файл с помощью стандартной программы Paint, как показано на рис.19. Следующий рисунок 20 показывает файл, открытый в графическом редакторе Paint.
14
Рис.20. Изображение дифракционной картины, открытое в редакторе Paint.
Этот редактор нам понадобится как инструмент для экранных измерений (можно использовать вообще любую подобную программу, которая показывает экранные координаты курсора мыши!). Но сначала желательно сделать изображение максимально крупным. Для этого перейдите на вкладку «Вид» редактора (рис. 21).
Рис.21. Вкладка Вид.
С помощью экранных кнопок «Увеличить» и «Уменьшить» (рис.21), можно менять масштаб изображения на экране. Увеличим изображение так, как показано на рис.22.
15
Рис.22.
Обязательно следует поставить метки («птички») в окошках «Линейки»
и«Строка состояния» (рис.22). Тогда появятся вертикальная и горизонтальная линейки по краям изображения, а в нижней части окна редактора - «Строка состояния» с экранными координатами курсора мыши (одновременно с индикацией этих координат на линейках нам важна горизонтальная линейка и горизонтальная координата). На рис.22
показан пример индикации позиции курсора мыши на линейках и в «Строке состояния».
В«Строке состояния» присутствуют два числа – горизонтальная и вертикальная координаты курсора. Первое из двух этих чисел в данной строке – это горизонтальная координата курсора в пикселях. Именно она нам
ибудет нужна! Ниже, более крупным планом, показан пример строки состояния (горизонтальная координата 377 пкс, вертикальная координата 253 пкс).
Рис.23.Координаты мыши.
Теперь можно производить измерения. Начинать следует с установления масштаба изображения на экране ПК. Для этого, поочередно, просто наведите курсор мыши на, рекомендованные преподавателем, деления линейки L2. Например, на рис.24, курсор наведен на отметку линейки L2, равную 10см.
16
Рис.24. Метка 1 линейки L2 на делении 10 см (экранная координата 272 пкс).
Полученный результат для метки 1 (272 пкс) следует занести в таблицу 1 («Положение метки 1»). Затем, аналогично, определяем экранные координаты метки 2 (например, это деление 20 см линейки) и заносим полученное число в таблицу 1 («Положение метки 2»).
Далее остается наводить курсор мыши на середины пятен дифракционной картины, как, например, показано на рис.22, и определять экранные горизонтальные координаты каждого пятна (максимума), занося полученные результаты в таблицу 2.
Важное примечание: дифракционная картина всегда симметрична относительно нулевого максимума. На рис.22, к примеру, курсор как раз и наведен на нулевой максимум, т.к. справа и слева от него картинка пятен симметрична. Именно из этих соображений ищите нулевой максимум. После этого, все максимумы слева от нулевого – имеют отрицательный знак (-1, -2 и т.д.), а справа о него – положительный знак (1, 2, 3 и т.д.). Отсчет максимумов идет от нулевого максимума (т.е. ближайшие слева и справа от него , будут иметь номера, соответственно, -1 и 1). В таблице 2, в качестве примера, некоторые из таких результатов измерений и приведены в первых трёх колонках (остальные колонки табл.2 связаны с расчетными данными).
Указания по технике безопасности
Перед выполнением работы получите инструктаж у лаборанта.
Соблюдайте общие правила техники безопасности работы в физической лаборатории.
Не допускайте попадания света лазера (светодиода), света после дифракционной решетки, в зрачки глаз.
После выполнения всех измерений, выключайте источник света и вебкамеру. Все дальнейшие действия проводите исключительно с лабораторным компьютером.
17
4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.Приготовьте таблицу 3 для обработки результатов определения длины волны света из шестой (последней) колонки табл.2.
|
|
|
|
Таблица 3. |
|
Номер |
Длина волны λi (нм) |
λi - λср |
(λi |
- λср)2 |
|
результата i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Средняя длина волны λср=… |
|
… |
|
|
|
Обратите внимание, что во второй колонке «Длина |
волны λi (нм)» |
||||
длину волны следует записывать в нанометрах, а не миллиметрах, как было в таблице 2. Соответственно, все результаты расчетов, связанных с таблицей 3, тоже будут в нанометрах. Такой переход от миллиметров к нанометрам связан с необходимостью избавиться от многочисленных нулей после запятой в числах, возникающих в ходе этих расчетов. Например, запись 632 нм гораздо более удобна в расчетах и зрительно лучше воспринимается, чем запись 0,000632 мм (и еще лучше, чем 0,000000632 м).
Для перевода чисел λi (из таблицы 2) из миллиметров в нанометры, при переносе их в таблицу 3, следует эти числа умножить на 1000000.
Например, 0,000632 мм 1000 000 = 632 нм.
С помощью данных таблицы 3, можно рассчитать случайную
погрешность ελ определения длины волны света λ. Обычно, в ходе выполнения лабораторной работы, на экране установки наблюдается не более трёх порядков дифракционных максимумов ( максимальное значение К=3), т.е. можно рассчитать величину λ шесть раз (для каждого К = -3, -2, -1, 1, 2, 3). Соответственно, таблица 3 должна быть рассчитана на 6 значений λ. Занесите во вторую колонку таблицы 3 значения длин волн λ, полученных ранее в таблице 2.
В седьмой строке таблицы 3, под колонкой λi, следует записать результат определения средней длины волны из шести измерений - λср. Среднюю длину волны находим с помощью выражения (11):
(11)
В третьей колонке таблицы 3 в каждой строке записываем разницу между значением λi в этой строке и средней длиной волны λср. В последней, четвертой колонке этой таблицы, требуется записать квадраты величин
(λi-λср) из третьей колонки данной таблицы, т.е. величины (λi-λср)2. В седьмой
18
строке, под колонкой (λi-λср)2, нужно записать сумму всех величин (λi-λср)2 данной колонки. Эта сумма определяется по формуле (12):
(12)
2. Вычисление среднеквадратичной случайной погрешности измерений Sλ для длины волны света.
Среднеквадратичная погрешность измерения длины волны света Sλ вычисляется с помощью выражения (13):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
n |
обозначает количество измерений, в нашем примере n=6. Для |
|||||||||
этой формулы и пригодится значение |
из седьмой строки под |
||||||||||
колонкой |
(λi-λср)2 в таблице 3. |
|
|
|
|||||||
3.Определение случайной погрешности измерений ελ |
для длины волны |
||||||||||
света. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайная погрешность измерения длины волны света ελ, определяется |
|||||||||||
с помощью формулы (14): |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(14) |
где |
tn,p |
- коэффициент Стьюдента. Индексы n |
и р |
у коэффициента t |
|||||||
означают, что он зависит от числа измерений n (в нашем примере n = 6), и «доверительной вероятности» p для получаемого значения результата длины волны света, с учетом случайной погрешности измерений. Этот коэффициент не вычисляется, а выбирается из специальной таблицы этих коэффициентов, рассчитанной в рамках теории вероятностей. Ниже дан фрагмент этой таблицы (таблица 4):
|
Коэффициенты Стьюдента |
Таблица 4. |
|||||
Число |
|
Доверительная вероятность p |
|
||||
измерений |
0.8 |
0.9 |
0.95 |
0.98 |
0.99 |
0.995 |
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
3.077 |
6.313 |
12.706 |
31.820 |
63.656 |
127.656 |
|
3 |
1.885 |
2.920 |
4.302 |
6.964 |
9.924 |
14.089 |
|
4 |
1.638 |
2.353 |
3.182 |
4.540 |
5.840 |
7.458 |
|
5 |
1.533 |
2.132 |
2.776 |
3.746 |
4.604 |
5.597 |
|
6 |
1.476 |
2.015 |
2.570 |
3.649 |
4.032 |
5.893 |
|
7 |
1.439 |
1.943 |
2.446 |
3.142 |
3.707 |
4.316 |
|
8 |
1.415 |
1.895 |
2.365 |
2.998 |
3.499 |
4.229 |
|
9 |
1.397 |
1.860 |
2.306 |
2.897 |
3.832 |
4.501 |
|
10 |
1.383 |
1.833 |
2.262 |
2.821 |
3.250 |
4.297 |
|
11 |
1.372 |
1.812 |
2.228 |
2.764 |
3.169 |
3.581 |
|
12 |
1.363 |
1.795 |
2.201 |
2.718 |
3.105 |
3.496 |
|
В ячейках таблицы 4 находятся коэффициенты tnp . В нашем примере с числом измерений n=6, нас будет интересовать только строка для шести измерений. В ней можно выбрать любой из коэффициентов Стьюдента, но
19
от этого выбора будет зависеть доверительная вероятность p нашего результата определения длины волны света. Если величина p будет небольшой, то и надежность полученного результата окажется невелика, что неприемлемо.
Например, если взять коэффициент tnp =1.476 из колонки с p=0.8, то это будет означать, что доверять нашему результату измерений можно только на 80%, а в остальных 20% веры нашему результату не будет (кто, например,
пойдёт к врачу, зная, что каждого пятого больного он лечит неправильно?!). Можно, в погоне за хорошей надёжностью, взять
коэффициент |
tnp =5,893 из последней |
колонки таблицы (p=0,995). |
Здесь |
надежность составляет 99,5% - это |
очень хороший результат, |
но и |
|
коэффициент |
tnp весьма велик, т.е. |
итоговая случайная погрешность |
|
будет очень велика. Надёжный, но грубый результат, тоже
никому не нужен.
Требуется найти разумный компромисс между не очень маленькой вероятностью Р и не очень большим коэффициентом tnp . Примером такого компромисса для шести измерений можно считать tnp= 2,57 для вероятности Р=0,95. Этот коэффициент Стьюдента можно применить в формуле (14) для расчета случайной погрешности измерения длины волны света.
4. Определение систематической погрешности ϴλ длины волны света. Детальный (достаточно длинный) вывод формулы для расчета
систематической погрешности ϴλ можно посмотреть в приложении (Б). Здесь же воспользуемся конечным результатом этого вывода, формула (15):
(15)
где λср - средняя длина волны света по результатам шести измерений (в нашем примере измерений шесть, возможно у вас будет иное их число в соответствии с указаниями преподавателя из-за другой применяемой дифракционной решетки).
5.Расчет суммарной погрешности измерений λ длины волны света. Следующая формула (16) позволяет найти полную (суммарную)
погрешность измерений с учётом как случайной, так и систематической погрешностей:
|
(16) |
6.Запись окончательного результата. |
|
Окончательный результат принято записывать |
в следующем |
виде: |
|
(нм) при p=0,95, |
(17) |
где вместо многоточий должны быть ваши числовые данные. |
|
Результат для длины волны будет в нанометрах, как |
в этом примере, |
но можно перевести эти числовые данные и в метры (1нм=10-9 м).
20