Произведения векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(-6, 2, 3).

17. Два вектора =(6, –3, 2) и=(–7, 4, -4) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора =(2;3;-3) на направление вектора=(-2;-1;2).

19. Найти проекцию вектора =(4, –2, -1) на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .Найти величину угла между векторамиииспользуя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонале АС (построение четырехугольника нужно начинать с построения диагоналей АС и ВD, причем диагональ АС удобние расположить горизантально;

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формуле

д) подсчитать исомый угол по формуле

21. Найти координаты вектора , еслигде.

22. ДаноНайтии

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(3, 1, 0),(3,2,1).

24. Даны вершины треугольника А(1, 2, 3), В(1, -1, 2) и С(2, 2, 0). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить если.

26. Вектор ортогонален векторам=(3;1;1) и=(1;2;-1) и составляет с осью Оу тупой угол. Найти координаты вектора, еслии

27. Вычислить смешанное произведение векторов

28.Устоновить, компланарны ли векторы

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(3, 5, 4), В(8, 7, 4), С(5, 10, 4), D(4, 7, 8).

30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если ,,,,а тройка векторов – правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в пространстве;

Поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям:и.

35. Найти расстояние от точкидо плоскости.

36. На оси Оу найти координаты точек, отстоящих от плоскости на расстоянииd=3.

37. Даны вершины треугольника А(2;1;3), В(8;4;5), С(6;3;3). Составить кононические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой,,.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

40. Найти проекцию точки Р(3;0;4) на прямую х=3t+1; у=5t-6; z=2t+3.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, 4, -3) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, 3, 0) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние точкиР(2;0;-1) прямой .

44. Составить уравнение прямой l, которая проходит через точку М₀ (0;3;-2) перпендикулярно векторуи пересекает прямую l₁: используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечение прямой l₁ с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить кононические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(0, 4, 4), А₂(2, 4, 2), А₃(1, 5, 4), А₄(3, 3, 3). Найти:

1. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2. угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3. уравнение прямой А₁А₂;

4. уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ,(внутри цилиндра);

б)

5. Элементы линейной алгебры: метод гаусса.

решения системы линейных уравнений;

формулы крамера; матрицы; мАтричные уравнения;

линейное векторное пространство; линейная

зависимость (независимость) системы

векторов; линейные операторы; собственные

векторы и собственные значения линейного оператора

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В=, С=.

50. Найти ранги матриц:

а) ; б).

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественным линейным пространствоми:

а) множество всех векторов из арифметичекого пространства R₄ вида (а;в;0;0)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а;в;0;1)?

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(7, 1,),=(1, -1, 1),=(3, 2, 8),=(2, 1, 5).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?=(1, 0, 1, -1),=(0, 1, -2, 1),=(1, –1, -1, 1),=(0, 1, 1, -1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R₃, матрицы которых относительно некоторого прямоугольника имеют вид:

а) ; б).

56. Является ли оператор гделинейным? Если да, найт его матрицу в базисе (

57. Линейный оператор на плоскостиXOY зеркально отрожает все векторы относительно оси ОХ, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую у=. Найти матрицы операторовив базисе (.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .