- •© Российский государственный
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Ответы:
- •Вариант 2
- •1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшие задачи аналитической геометрии
- •2. Определители. Базис в пространстве.
- •3. Линейные операции над векторами,
- •4.Аналитическая геометрия в пространстве:
- •Поверхности второго порядка
- •Векторы и собственные значения
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Вариант 5
- •Векторное и смешанное произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преоразования, заданного в некотором базисе матрицей . Ответы:
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
Ответы:
1 . 2.Уравнение медианы: 4x-y-13=0; уравнение высоты: 3х-2у-11=0. 3.
М1(6;-1). 4.D(-2;3). 5. (2, -1) и (3, 1). 6. 4, х-5=0, х+8у+21=0. 7. х+3у+11=0; 3х-у+11=0; 3х-у-1=0. 8. 125 кв.ед. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 2. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом. 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок. 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 3 . 5) окружность с центроми радиусом 3. 6) окружность с центроми радиусом 1.
10. Гипербола ,, полуоси,,. 11.. 12.Парабола: (х+2)2=-12(у+1). 13. б)
в) правая ветвь гиперболы: 14. а) 26, б) 30, в) 58, г) –1.
15. . 16.. 17. а),, в), с). 18.. 19.-2.20.. 21..22.. 23.,.
24. . 25.26. . 27. 18. 28. Компланарны. 29. 70/6. 30. 31. х-у+2z-2=0 . 32. .
33. . 34.. 35.. 36.и (0;-3/2;0). 37.. 38.. 39.. 40.(4;4;3). 41.. 42. (0;2;-1). 43. 3. 44.. 45. 1)arccos, 2) , 3)4), 5). 47.,. 48., где. 49. .,,,. 50. а)r=2, б) r=3. 51. х1=3, х2=2, х3=-1. 52. а) да, б) нет. 53. . 54. да. 55. а) проектирование на осьОy, б) отражение относительно плоскости хОу. 56. Оператор линейный;
–его матрица в базисе, (.57.,
58. Собственные значения: ,,, собственные векторы: для, где, для, где, для, где.
.
ВАРИАНТ 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ:
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;
Линии второго порядка на плоскости
1.Доказать, что треугольник с вершинами А1(-1;-1), А2 (0;1), А3 (3;-3) прямоугольный.
2.Даны вершины треугольника, А(0;2), В(-4;0), С(2;-4). Составить уравнение его медианы и высоты, проведенных из вершины А.
3.Найти координаты точки М1, симметричной точке М2(5;-6) относительно прямой, проходящей через точки А(0;-1), В(-4;1).
4.Даны три вершины параллелограмма А(2,-3), В(4, -1), С(-2,5).Определить координаты четвертой вершины D, противоположной В.
5. Отрезок, ограниченный точками А(3, -1) и В(6, 5), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
6. Даны две вершины А(4;-4), В(6;4) треугольника АВС и точка N(5;-4) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольнтка.
7. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-9 =0.Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-3;2) – точка пересечения его диагоналей.
8. Точка А(4,–8) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: . Вычислить площадь квадрата.
9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):
а)r=4; б)r=; в)r=; г) ; д); е).
10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.
11. Точка М1(4;-2) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+5=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет .
12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой равноудалена от точки А(1, 3) и от прямой х+3=0. Определить какая это линия. Сделать чертеж.
13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.
Требуется:
а) построить линию по точкам, начиная от дои придаваязначения через промежуток;
б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
в) по полученному уравнению определить, какая это линия.
Определители. Базис в пространстве.
Координаты вектора
14. Вычислить определители:
а) по правилу треугольника;
б) разложением по элементам первой строки;
в) разложением по элементам второго столбца;
г) сведением к треугольному виду:
а) , б), в), г).
15. Даны векторы: 1=(2, 3, 8); 2=(6, 10, 4); 3=(-2, 1, 3); =(4, 11, 7) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.
Линейные операции над векторами.
Проекция вектора на ось.
Скалярное, векторное и смешанное