58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преоразования, заданного в некотором базисе матрицей . Ответы:

1. . 2. Уравнение медианы: 4х-у-22=0; уравнение высоты: 3х-2у-19=0. 3. М₁(8;-3). 4.Д(-4;0). 5.(4; -1) и (5;1) . 6. 4х-у-10=0, х-4=0, х+8у+14=0.

7.,,, 8. 45 кв.ед. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 6. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом 3\4. 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а=6; 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 5. 5) окружность с центроми радиусом 5. 6) окружность с центроми радиусом 6. 10. Гипербола,, полуоси,,. 11.. 12. Парабола: (у+2)²=8(х+5). 13. в) Правая ветвь гиперболы . 14. а) -11, б) -52, в) –9, г) -8. 15.. 16.. 17. а),,б), в). 18.19. 2. 20.arccos(. 21.. 22..

23. ,. 24.,.

25. . 26.(-3,-3,-6). 27. -10. 28. Компланарны. 29.V=33 куб.ед.. 30. 18. 31. . 32.. 33.. 34.. 35.. 36. (0,-1,0), и (0,5,0).

37. . 38.. 39.(1,6,1). 40.(5,0,6). 41.Q(-2,3,4). 42. Q(2,-3,6). 43. . 44.. 45. 1),

2) , 3),

4) , 5). 47., где.

48. , где.

49. ,,,

. 50. а) , б). 51.,,.

52. а) да, б) нет. 53. . 54. нет. 55. а) проектирование векторов на плоскостьхОу, с последующим отражением векторов – проекций относительно начала координат; б) отражение относительно начала координат. 56. Оператор линейный;

–его матрица в базисе ().

57. ,. 58. Собственные значения:,. Собственные векторы: для, где, - любые вещественные числа, не равные одновременно нулю; для, где.

Вариант 6

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ:

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Доказать, что точки А(2,2), В(-1,6), С(-5,3) и D(-2,-1) являются вершинами квадрата.

2. Даны вершины треугольника А(1;-1), В(-2;-1), С(3;5). Составить уравнения перпендукуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведеную из вершины В.

3.Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(6;-3) относительно прямой, проходящей через точки А(1;2) и В(2,-3).

4. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3,3), В(1,5) и точка пересечения его диаганалей М(1;1). Определить координаты двух других вершин.

5. Отрезок, ограниченный точками А(2;-5) и В(-1,-2), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+2у-7=0, 5х+2у-36=0 и уравнения его диагонали 3х+7у-10=0. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

7. Даны две вершины А(-4;2) и В(4,-2) и точка D(3,2) пересечение высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

8. Найти расстояние от точки М(-4;2) до прямой, проходящей через точки А(-1,2) и В(1,6),

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а); б); в); г);

д) ; е).

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М₁(2,-2) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+7=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет .

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(1,5) и от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от дои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве.

Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б), в), г).

15. Даны векторы: ₁=(-1,2,1); ₂=(1,0,-3); ₃=(2,-3,0), =(0,3,-6) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.

3. Линейные операции над векторами.

Проекция вектора на ось.