ВАРИАНТ 8

1. аналитическая геометрия на плоскости:

простейшИе задачи аналитической геометрии

на плоскости; прямая на плоскости;

линии второго порядка на плоскости.

1. Доказать, что точки А (4,5), В (1,9), С (-3,6) и D (0,2)являются вершинами квадрата.

2. Даны вершины треугольника А (3,2), В (0,4), С (5,8). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершиныАна медиану, проведенную из вершины В.

3. Найти координаты точки М, симметричной точкеМ₂(8,6)относительно прямой , проходящей через точкиА (3,5), В (4,0).

4. Даны две смежные вершины параллелограмма А (-1,6), В (3,8)и точка пересечения его диагоналейМ (3,4).Определить координаты двух других вершин.

5. Отрезок, ограниченный точками А (4,-2), В (1,1), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+2у-23=0, 5х+2у-52=0и уравнение его диагонали3х+7у-37=0.Составить уравнение остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

7. Даны две вершины А (-2, 5) и В (6, 1) и точкаД (5,5) пересечения высот треугольника. Составить уравнение его сторон.

8. Найти расстояние от точки М (-2,5)до прямой, проходящей через точки А (1,5)иВ (3,9).

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

2), 3), 4), 5), 6).

10. Установить, какая линия определяется уравнением 16х²-25у²-32х+50у-409=0. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М₁(2,-2) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямойу+6=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет.

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (-1,-3)и от прямойу-3=0.Определить какая это линия, сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

а) построить линию по точкам, начиная от дои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. определители. базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложениям по элементам первой строки;

в) разложениям по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду;

а); б); в);г).

15. Даны векторы: (3,1,2),=(3,-2,1),=(1,4,3),=(4,8,6)в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. линейны операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16. Найти координаты единого вектора (орта) , сонаправленного с вектором= (4,-2,1).

17. Два вектора =(-7,4,4) и =(2,1,-2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови ;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что=9.

18. Найти проекцию вектора =(1,2,1) на направление вектора =6i+3j+2k.

19. Найти проекцию вектора =(2,1,1) на ось, составляющую с координатными осямиОх и Оу углы, а с осьюОу –острый угол.

20. В четырехугольнике ОАВСугол при вершинеОимеет величину 120⁰, а диагональОВявляется биссектрисой этого угла. Известно, чтоНайти величину угла между векторамии, используя последовательность действий:

а) ввести декартовую прямоугольную систему координат XOYс началом в точкеОтак, чтобы осьОхбыла направлена по сторонеОСчетырехугольника (в связи с этим сторонуОСжелательно расположить на рисунке горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формулеcos()=;

д) подсчитать искомый угол по формуле

21. В плоскости ХОZ найти вектор, перпендикулярный векторуи имеющий одинаковую с ним длину.

22. На векторах ипостроен треугольник. Найти длину медианы, проведенной из вершины А, если

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(1;0;-2),=.

24. Даны вершины треугольника АВС:А(3;0;3), В(5;1;2), С(-1;3;-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершиныА.

25. Вычислить , если =1,=4,=2.

26.Найти вектор , ортогональный векторам=;=, еслигдес=(6;3;2).

27. Вычислить смешанное произведение векторов =(2;1;-1),=(0;1;-3),=(1;1;2).

28. Установить, компланарны ли векторы =,=,=.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А (1;3;3). В (9;7;4), С (3;1;4), D (5;3;6).

30. Вектор перпендикулярен к векторами;. Зная, что =,=2, =1, найти, если тройка векторов,,- правая.

4. аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ (1;0;3) параллельную плоскости:5х+2у+ z-3=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскостих+у+z=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку А(-1;2;0)перпендикулярно двум плоскостям:х+3у+5=0, 2х-у+ z+1=0.

35. Найти расстояние dточкиМ(-3;1;3) до плоскости2х-у+2 z+7=0.

36. На оси Охнайти координаты точек, отстоящих от плоскости2х-у-2 z+3=0 на расстоянииd=5.

37. Даны вершины треугольника А(0;3;1) В(2;2;3), С (6;-2;10). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершинеВ.

38. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(3;0;2)параллельной прямой:х=4t-1, у=5 t+3, z=2 t+1.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости 3х-4у+z-12=0.

40. Найти проекцию точки М (1;-3;5) на прямуюх=t+2, у=-2t+5, z=5t+2.

41. Найти координаты точки М₁, симметричной точкеМ₂(4;3;5) относительно плоскости:2х-у+2z-6=0.

42. Найти координаты точки М₁, симметричной точкеМ₂(-1;0;2) относительно прямой:.

43. Вычислить расстояниеd точкиМ(5;3;5)от прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М₀(5;0;-2)параллельно плоскости П:3х-2у-3z-3=0и пересекает прямуюl:, используя последовательность действий:

а) найти уравнение плоскости П₁,проходящей через точкуМ₀параллельно плоскостиП(см. задачу 31);

б) найти координаты точки М₁пересечения прямойlи плоскостиП₁(см. задачу 39);

в) найти канонические уравнения искомой прямой, как прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(5;4;-2), А₂(4;3;-2), А₃(1;0;-3), А₄(2;4;5).

Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄; и граньюА₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на граньА₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=1-у²; z=0; х+у=1; х=0;

б) х²-у²=2z; х=0; х=-2; z=-1.

5.ЭлЕменты линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

х₁+х₂-2х₃-х₄=0,

х₁+2х₂-3х₃-3х₄=0,

2х₁+3х₂-5х₃-4х₄=0

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=СА^-1+2С^тВ, где

50. Найти ранги матриц: а) б).

51. Дана система линейных уравнений

х₁-х₂-х₃-=2,

2х₁+3х₂-4х₃=3,

х₁-2х₂-х₃=-1,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами матричного исчисления,

3. по формулам Крамера,

52. Являются ли вещественными линейными пространствами:

а) все векторы (х;у;z)арифметического пространства,координаты которых удовлетворяют уравнению2х-у+2z=0,

б) все векторы (х;у;z)из, координаты которых удовлетворяют уравнению2х-у+2z=3.

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(-1;2;);=(1;2;3); =(2;-3;-1), =(2;2;4).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой

=(1;2;1;-1); =(1;1;-2;-1), =(1;0;2;3),=(2;2;3;2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид: а)б)

56. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени ≤3 от одного неизвестного с вещественными коэффициентами и найти матрицу этого преобразования в базисе: f₁(х)=1, f₂(х)=х, f₃(х)=х², f₄(х)=х³,

57. Линейный оператор - оператор зеркального отражения векторов плоскости относительно прямойу= - х, а оператор- оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол. Найти матрицы операторов;;;в базисе(.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ОТВЕТЫ:

2. 4х+у-14=0. 3.(-2;4). 4.(7;2) и (3,0). 5.(3;-1) и (2;0).6.2х-5у+14=0, 2х-5у-15=0, 7х-3у-38=0.7.х+2у-8=0, х-6=0, х-4у+22=0. 8.d=.9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 2; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезока=5; 4) прямая расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии 3; 5) окружность с центромС(,r=4) и радиусом 4; 6) окружность с центром С(,r=2) и радиусом 2.10. Гипербола: С(1;1), полуосиа=5, b=4, .11. . 12. Парабола:(х+1)²=-12у.13. в) левая ветвь гиперболы: . 14. а) 52; б) –5; в) 55; г) 1. 15.=(2;-1;1).16.17.а)

б)в)(-3,21,-6). 18. 2.19.–2. 20. arccos =46⁰6¹.

21. ±(-24;0;10).22. .23. (2;-4;1);. 24.S=,h=.25. ±2.26. =(14;-21;7).27.8.28. Компланарны. 29.V=8 куб.ед.30.–3. 31.5х+2у+z-8=0.32.6х-3у-4z-17=0. 33.2х-у-z+9=0.34.3х-у-7z-+5=0. 35.d=2.36.(6;0;0) и (-9;0;0). 37.. 38.. 39.(5,4,13). 40.(3,3,7).41.(0,5,3).42.(-7,6,-4).43. d=3. 44.45. 1)arccos .

2) -arccos. 3) 4)х-у-1=0.5) 47.Х=, гдеС₁,С₂.48. , гдеа,b, .49.,,,. 50.а) r=2, б) ) r=3. 51.х₁=13, х₂=3, х₃=8. 52.а) да, б) нет.53. .54.да. 55. а) растяжение в 7 раз вдоль осиОх,б) проектирование на осьОх с последующим отражением относительно начала координат. 56.. 57. А=, В=, АВ=, ВА=. 58. Собственные значения:=5,=-1,=-7. Собственные векторы:,,где С,C.

ВАРИАНТ 9

1. аналитическая геометрия на плоскости: простейшИе

задачи аналитической геометрии на плоскости; прямая

на плоскости; линии второго порядка на плоскости.

1. Доказать, что точки А (1,0), В (-2,4), С (-6,1) и D (-3,-3)являются вершинами квадрата.

2. Даны вершины треугольника А (0,-3), В (-3,-1), С (2,3). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

3. Найти координаты точки М, симметричной точкеМ₂ (5,1)относительно прямой , проходящей через точкиА (0,0), В (1,-5).

4. Даны две смежные вершины параллелограмма А (-4,1), В (0,3,)и точка пересечения его диагоналейМ (0,-1).Определить координаты двух других вершин.

5. Отрезок, ограниченный точками А (1,-7), В (-2,-4), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+2у+2=0, 5х+2у-27=0и уравнение его диагонали3х+7у+7=0.Составить уравнение остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

7. Даны две вершины А (-5,0) и В (3,-4) и точкаD (2,0) пересечения высот треугольника. Составить уравнение его сторон.

8. Найти расстояние от точки М (-5,0)до прямой, проходящей через точки

А (-2,0)иВ (0,4).

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

2), 3), 4), 5), 6).

10. Установить, какая линия определяется уравнением 5х²-12у²-20х+24у-52=0. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М₁(5,-1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямойу+4=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет.

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (2,4)и от прямойх+2=0.Определить какая это линия, сделать чертеж.

13. Линия задана уравнениемв полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия .