4.Аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ₀ (1,0,-1) параллельную плоскости:3х+у-2z-3=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1,3,-2) и прямую:.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскостих-2у+3z-3=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(-1;2;3)перпендикулярно двум плоскостям:х-3у-3z+5=0, 2х+у+3z-4=0.

35. Найти расстояние dточкиМ₀(5;-4;2) до плоскости4х+7у+4 z+18=0.

36. Найти параметрические уравнения прямой , заданной как линия пересечения двух плоскостей 2х-у+3z-10=0 и 3х+2у-z+5=0.

37. Даны вершины треугольника А(3;2;1) В(6;2;5), С (5;3;3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершинеА.

38. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М₀(-2;3;-1)параллельной прямой:.

39. Найти координаты точки пересечения прямой : х=t+2, у=2t+3, z=2t+4и плоскости 2х-3у+z-1=0.

40. Найти проекцию точки Р (1;1;2) на прямую.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точкеР(5;2;1) относительно плоскости:х+2у+2z-20=0.

42. Найти координаты точки Qсимметричной точкеР(4;-1;1) относительно прямой.

43. Вычислить расстояниеd точкиМ₀(1;3;1)от прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой l, которая проходит через точкуМ₀(3;0;-3)и пересекает прямыеl₁:,l₂:используя последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора П₁(П_1х,П_1у,П_1z),к плоскостиП₁проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₁, взяв векторное произведение, где(3,-2,-1)

• направляющий вектор прямой l_1. М₁(5,-1,-4)_.

• точка прямой l_1.(см. задачу № 32)

б) найти координаты нормального вектораП₂(П_2х,П_2у,П_2z),к плоскостиП₂проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₂, взяв векторное произведение, где(2,3,-5)

• направляющий вектор прямой l₂ М₂(8,1,-5)_.

• точка прямой l_2.(см. задачу № 32)

в) найти координаты направляющего вектора (а_х,а_у,а_z)искомой прямойl, взяв векторное произведение.

г) составить канонические уравнения искомой прямой l, проходящей через точкуМ₀ в направление вектора.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(4;7;4), А₂(3;7;3), А₃(2;5;5), А₄(3;3;8).

Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄; и граньюА₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на граньА₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=4-х²;z=0; х=0; у=0; 2х+у=4(х≥0) б) z= х²+у². Z=0; х=0;у=х²; у=1.

5.ЭлЕменты линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

х₁+х₂+х₃+2х₄=0,

х₁+2х₂+х₃-2х₄=0,

х₁+2х₂+2х₃-3х₄=0,

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=3CА^-1-2С^TВ, где

50. Найти ранги матриц: а) б).

51. Дана система линейных уравнений

х₁+х₂-х₃-=1,

4х₁-х₂-2х₃=7,

2х₁-х₂-х₃=4,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами матричного исчисления,

3. по формулам Крамера,

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

б) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2;3;);=(1;2;3); =(2;-1;1), =(1;1;2).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из R⁴ линейно зависимой ?

=(1;2;-1;-1); =(2;-1;-1;2), =(0;1;2;2),=(1;3;-1;-1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид: а)б)

56. В пространстве V₃задан оператортак:, где,.Проверить линейность оператораи найти его матрицу в базисе ().

57. В пространстве линейный операторзеркально отражает векторы относительно прямой, а линейный операторортогонально проецирует векторы на плоскость.Найти матрицу операторав базисе ().

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ОТВЕТЫ:

1. 4х+3у-21=0, х+у=0, 3х+2у-21=0.2.(5,-1).(4,6), 2х+у-14=0,3.х+у=7, х-у=7, х+у=-7;х-у=-7.4.х-2у-14=0, 3х-у-22=0, (6,-4)5.(6;-3) и (7;-1).6.7х-2у-38=0, 5х+у-49=0, 2х-3у-23=0.7.d=6. 8.5кв. ед.. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом5; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а=3; 4) прямая расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии7;5) окружность с центром С(,r=3) и радиусом3; 6) окружность с центром С(,r=11) и радиусом11. 10. Эллипс: С(3;-1),, а=4, в=,. 11.. 12. Гипербола:.13.в)парабола:у²=-5(х-1,25). 14. а)-9; б)-15; в)14; г)-1.15.=(2;-1;3).16.17.а)

б)в)(4,10,2).18.3. 19.520.=arccos =62⁰03¹. 21. -5222.. 23. (-6;2;6);. 24.S=,h=.25. (2;-6;2). 26.±36. 27.-12. 28. тройка правая. 29.V=22 куб.ед. 30.–18.31.2х+у-2z-5=0. 32.3х-z-5=0. 33.Х-у-z+1=0.34.6х-9у-7z+9=0.35.d=2. 36.Х=-5t, у=11t-1, z=7t+3. 37.. 38.. 39.(1,1,2).40.(2,3,4).41.(7,6,5).42.(6,3,-3).43.d=3.44.45. 1)arccos =111⁰38¹. 2)arccos. 3)4) -2х+3у+2z-21=0. 5)47. Х=С, где С.48.,гдеа,а,в.49.,. 50. а)r=2, б) )r=3.51. х₁₌1, х₂=-1, х₃=-1. 52. а)да, б)нет.53..54.да. 55. а)поворот на уголпо часовой стрелке вокруг оси, проходящей через начало координат и образующей с координатными осями равные острые углы; , б)отражение относительно осиОх, 56. Операторлинейный;, его матрица в базисе ().57. А=, В=, АВ=. 58. Собственные значения:=1,=6,=-6. Собственные векторы:,,где С,.

ВАРИАНТ 14