Скалярное, векторное и смешанное

произведения векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(3,-6,–2).

17. Два вектора =(2,6,-3) и=(-4,–7,4) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора =(2,1,-2) на направление вектора =(2,-3,6).

19. Найти проекцию вектора =(3,-1,4) на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Известно, что ,,,Найти величину угла между векторамии, используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат ОУс началом в точке О так, чтобы ось была направлена по диагонали(построение четырехугольника нужно начинать с построения диагоналейи, причем диагональудобнее располложить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формуле;

д) подсчитать искомый угол по формуле .

21. Найти координаты вектора , если,и, где.

22. Дано ,,,. Найтии.

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(1,2,-2),.

24. Даны вершины треугольника А(0,0,4), В(1,–2,8) и С(6,2,0). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить ,,,=3.

26. Вектор ортогонален векторам=(1,2,-3) ии составляет с осьютупой угол. Найти координаты вектора, еслии=12.

27. Вычислить смешанное произведение векторов ,,.

28. Установить, компланарны ли векторы ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(4,2,5), В(0,7,2), С(0,2,7), D(1,5,0).

30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если ,,,,а тройка векторов – правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в пространстве;

Поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям:,.

35. Найти расстояние от точкидо плоскости

36. Найти оси Оy, найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2x+2y+z-3=0 на расстоянии d=2.

37. Даны вершины треугльника А(1,2,3), В(3,3,5), С(9,6,7). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутренго угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой,,.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

40. Найти проекцию точки Р (2;3;0) на прямую.x=t+3, y=7t-3, z=-3t+6.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(3,-9,10) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,16,-7) относительно прямой .

43. Вычислить расстояние от точкиот прямой.

44. Составить уравнение прямой l, которая проходит через точку

M₀(4,-1,4) перпендикулярно вектору , и пересекает прямуюl₁: используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой l₁ с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки. М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(2, 4, 3), А₂(4, 4, 1), А₃(3, 5, 3), А₄(5, 3, 2). Найти:

1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ;x=0; z=0 (x≥0, Z≥0),

б) x²+y²-z²=0; z=1+

5. Элементы линейной алгебры:

МЕТОД ГАУССА. РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ; ФОРМУЛЫ КРАМЕРА;

МАТРИЦЫ; МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ;

линейное векторное пространство;

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (НЕЗАВИСЕМОСТЬ)

СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ; линейные операторы;

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ

ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В=, С=.

50. Найти ранги матриц:

а) ; б).

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Являются ли вещественными линейным пространствами:

а) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а,о,в,с)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида

(а,1 ,в,с)?

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(1,3,5),=(3,2,5),=(2,4,7),

=(5,6, ).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?=(1,2,1,–1),=(0,1,1,–1),=(1,3,2,-2),=(1,-1,0,2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R₃, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:

а) ; б)

.56. Является ли оператор гделинейным? Если да, найти его матрицу в базисе (.

57. Линейный оператор на плоскостиХОУ зеркально отражает все векторы относительно оси ОУ, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую. Найти матрицы операторовив базисе.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А=.