2. Определители. Базис в пространстве.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

14.Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элиментам первой строки;

в) разложением по элиментам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) б)в)г)

15. Даны векторы: в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.

3. Линейные операции над векторами,

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. СКАЛЯРНОЕ,

ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

16. Найти коородинаты еденичного вектора (орта) ₀, сонаправленного с вектором .

17. Два вектораиприложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и₀ векторов и;

б) вектора ₀+₀;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамии, при условии, что=15.

18. Найти проекцию вектора на направление вектора.

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .

Найти величину угла между векторами и, используя последовательность действий:

а) ввести декартовую прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали (построение четырехугольника нужно ничинать с построения диагонали АС и BD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формуле=;

д) подсчитать искомый угол по формуле .

21. Найти координаты вектора , еслиипр =-44, где,,.

22. Дано =2, , ()=, . Найти=.

23. Вычеслить координаты векторного произведения и его длину, если.

24. Даны вершины треугольника А(5,-6,2), В(1,-1,2), С(1,3,-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить , если=2,=3, ()= 3.

26. Вектор ортогонален векторам (2,1,3) ии составляет с осьюOу тупой угол. Найти координаты вектора , еслии=10.

27. Вычислить смешанное произведение векоров

28. Установить, компланарны ли векторы ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(3,4,2), В (5,2,-1), С(7,4,8), D(-4,-3,7).

30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если (,=,= 2,=2, а тройка векторов- правая.

4.Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в прстранстве;

Поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2,-1,0), параллельную плоскости: x+2y+2z+1=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2,2,-1) и прямую:.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости2x+y+3z-2=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(2,2,-3) перпендикулярно двум плоскостям: 2x-y+5=0 и 3x-2y-z+1=0.

35. Найти расстояние d точки М₀(3,-1,-1) до плоскости x+2y-2y-2z+7=0.

36. На оси Oy найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2x-y+2z-1=0 на расстоянии d=3.

37. Даны вершины треугольника А(3,-1,-1), В (1,2,-7), С (3,3,-5). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравния прямой, проходящей через точку М₀(2,-2,-1), параллельной прямой x=t, y=4t+3, z=2t-1.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости2x+3y+z-1=0.

40.-Найти проекцию точки Р(1,2,-1) на прямую x=t+2, y=7t-4, t=-3t+5.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,-4,5) относительно плоскости x+7y-3t-18=0.

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(0,8,-7) относительно прямой .

43.Вычеслить расстояние d точки Р(1,2,-2) от прямой .

44.Составить уравнение прямой l , которая проходит через точку М₀(2,-1,3) перпендикулярно вектору и пересекат прямуюl₁:

используя последовательность cmb действий:

а) составить уравнение плоскости П, прроходящей черезточку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечение прямой с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(2,4,5), А₂(4,4,3), А₃(3,5,5), А₄(5,3,4). Найти:

1. угол между ребрами А₁,А₂ и А₁А₄;

2. угол между ребрами А₁А₄ и гранью А_!А₂А₃;

3. уравнение прямой А₁А₂;

4. уравнние плоскости А₁А₂А₃;

5) уравень высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46.Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=2-y², z-x=0, z+x=0;

б) z=x²+y², z=2x²+2y², x²+y²=4.

5. элЕменты линейной алгебры: метод гаусса,

решения системы линейных уранений;

формулы крамера; матрицы; матричные

уравнения; линейное векторное пространство;

линейная зависимость (независимость) системы

векторов; линейные операторы; собственные