Скалярное, векторное и смешанное

произведения векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(1,4,–2).

17. Два вектора =(2,-3,-6) и=(-4,4,7) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора =(2,3,1) на направление вектора .

19. Найти проекцию вектора =(,1,-9) на ось, составляющую с координатными осями Ох и Оz углы ,, а с осьюОу – острый угол β.

20. В четырехугольнике ОABC угол при вершине О имеет величину 120˚, а диагональ ОВ является биссектрисой этого угла. Известно, что . Найти величину угла между векторамии, используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат ОУс началом в точке О так, чтобы ось была направлена по сторонечетырехугольника (в связи с этим сторонужелательно расположить на рисунке горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек О, А, В, С, ;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формуле;

д) подсчитать искомый угол по формуле .

21. В плоскости ХОУ найти вектор , перпендикулярный вектору, и имеющий одинаковую с ним длину.

22. На векторах ипостроен треугольник. Найти длину медианы, проведенной из вершиныА, если ,,.

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(2,-1,-1),.

24. Даны вершины треугольника АВС: А(2,0,3), В(4,1,2) и С(-2,3,-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить, ,,,=8.

26. Найти вектор , ортогональный векторамиеслигде.

27. Вычислить смешанное произведение векторов ,,.

28. Установить, компланарны ли векторы ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(1,1,2), В(2,3,-1), С(2,

-2,4), D(-1,1,3).

30. Вектор перпендикулярен к векторами,. Зная, что ,,,найти , если тройка векторов– правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в пространстве;

Поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: ,

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям:,.

35. Найти расстояние от точкидо плоскости

36. На оси Ох найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2x+2y+z-3=0 на расстоянии d=5.

37. Даны вершины треугльника А (-3,2,-1), В (-1,1,1), С (3,-3,8). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутренего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой,,.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

40. Найти проекцию точки М (0,-5,2) на прямую.x=t+1, y=-2t+3, z=5t-1.

41. Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(1,2,3) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(2,1,4) относительно прямой .

43. Вычислить расстояние от точкиот прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку M₀(3,-2,-4) параллельно плоскости П:3х-2у-3z-7=0 и пересекает прямую l: используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П₁, проходящей через точку М₀параллельно плоскостиП (см. задачу 31);

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой l и плоскости П₁ (см. задачу 39);

в) найти канонические уравнения искомой прямой, как прямой, проходящей через точки. М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(4,2,-2), А₂(3,1,-2), А₃(0,-2,-3), А₄(1,2,5).

Найти:

1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ;у²+z²=2x; x=0

б) z=0, z=1-y², x=y², x=2y₂+1

5. Элементы линейной алгебры:

МЕТОД ГАУССА. РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ; ФОРМУЛЫ КРАМЕРА;

МАТРИЦЫ; МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ;

линейное векторное пространство;

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (НЕЗАВИСЕМОСТЬ)

СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ; линейные операторы;

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ

ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В=, С=.

50. Найти ранги матриц:

а) ; б).

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Являются ли вещественными линейным пространствами:

а) все векторы (х, у, z) из арифметического пространства R₃ координаты которых удовлетворяют уравнению х+у+z=0 ?

б) все векторы (х, у, z) из арифметического пространства R₃ координаты которых удовлетворяют уравнению х+у+z=1 ?

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2,3,),=(1,-2,-1),=(2,3,5),

=(-1,3,2).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?=(1,0,-2,1),=(2,1,-1,0),=(1,2,1,1),=(2,2,-1,2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R₃, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:

а) ; б)

56. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени 4 от одного неизвестного с вещественными коэффициентами и найти матрицу этого преобразования в базисе:

57. Линейный оператор - оператор зеркального отражения векторов плоскости относительно прямойу=-2х, а оператор - оператор поворота вокруг начала координат на угол. Найти матрицы операторов ,,в базисе.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .