Министерство образования Российской Федерации

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Кафедра высшей математики

Аналитическая геометрия

и элементы линейной алгебры

Индивидуальные домашние задания

Варианты 1 – 7

Екатеринбург 2002

Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры: Индивидуальные домашние задания / Рос. гос. проф.-пед. ун-т, Екатеринбург, 2002. Варианты 1 –7. 56 с.

Составители: доц., канд. физ.-мат. наук Просвиров Александр Сергеевич, ст. препод. Горюн Тамара Васильевна.

© Российский государственный

профессионально-педагогический

университет, 2002 г.

ВАРИАНТ №1

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ:

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;

Линии второго порядка на плоскости

1. Доказать, что треугольник с вершинами А₁(1,1), А₂(2,3), А₃(5,-1) прямоугольный.

2. Даны вершины треугольника А(2,1), В(-2,-1), С(4,-5). Составить уравнения двух его медианы и высоты, проведенных из вершины А.

3. Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(8,-9), относительно прямой, проходящей через точки А(3,-4), В(-1,-2).

4. Даны три вершины параллелограмма А(3,-5), В(5,-3), С(-1,3). Определить координаты четвертой вершины D противоположной В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(1,-3) и В(4,3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны две вершины А(3,-1) и В(5,7) треугольника АВС и точка N(4,-1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-1,0) - точка перчения его диагоналей.

8. Точка А(2,-5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х–2у-7=0. Вычислить площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) б)в)г)д)

е)

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М₁(3,-1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+6=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет .

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2,6) и от прямой у+2=0. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13 Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

а) построить линию по точкам, начиная от дои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители, базис в пространстве,

координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б), в), г).

15. Даны векторы: ₁=(2, 1, 3); ₂=(5, 3, 2); ₃=(1, 4, 3); =(3, 8, 13) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.

3. Линейные операции над векторами.

Проекция вектора на ось.

Скалярное, векторное и смешанное

произведения векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(2,6,–3).

17. Два вектора =(2,–3,6) и=(–2,1,2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора (2,-3,4) на направление вектора=.

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике ABСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что , |ВО|=1, |ДО|=4, .

Найти величину угола между векторами и, используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точкеО так, чтобы ось была направлена по диагонали(построение четырехугольника нужно начинать с построения диагоналиАС и ВD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С и D;

в) найти координаты векторов и,

г) найти по формуле,

д) подсчитать искомый угол по формуле =arccos,

21. Найти координаты вектора , если,и, где,,.

22. Дано ,,,. Найтии

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину ,если

24. Даны вершины треугольника АВС: А(0,2,3), В(-2,1,-3), С(0,3,-2). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить , если =5, ()=16.

26. Вектор ортогонален векторамии составляет с осьюOy тупой угол. Найти координаты вектора если и=20.

27. Вычислить смешанное произведение векторов ,,

28. Установить, компланарны ли векторы ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8).

30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если,,,, а тройка векторов– правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в пространстве;

поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости:2.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям:,.

35. Найти расстояние от точкидо плоскости.

36. На оси Оу найти координаты точек, отстоящих от плоскости , на расстоянииd=4.

37. Даны вершины треугольника А(3,-1,-1), В(1,2,-7), С(-5,14,–3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельной прямой,у=5t-1, z=t+2.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости

40. Найти проекцию точки на прямуюх=3t, y=5t-7, z=2t+2.

41. Найти координаты точки , симметричной точкеотносительно плоскости.

42. Найти координаты точки , симметричной точкеотносительно прямой.

43. Вычислить расстояние от точкиот прямой.

44. Составить уравнение прямой , которая проходит через точку перпендикулярно векторуи пересекает прямую l₁, , используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой l₁, с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1,2,3), А₂(3,2,1), А₃(2,3,3), А₄(4,1,2). Найти:

1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , 4z =y², 2x-y=0, x+y=9,

б) ,x²+y²=z, x²+y²=4.

5. Элементы линейной алгебры: МЕТОД ГАУССА

РЕШЕНИЯ системы линейных уравнений;

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА; матрицы; МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ;

линейное векторное пространство;

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (НЕЗАВИСИМОСТЬ)

СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ; линейные операторы;

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ

ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В=, С=.

50. Найти ранги матриц:

а) ; б).

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Являются ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а,в,с, о)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а,в,с, 1)?

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(7,-2,),=(1,-6,1),=(3,7,8),=(2,3,5).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?

=(2,1,3,4), =(4,2,1,3),=(5,1,3,2),=(2,4,3,5).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:

а) ; б)

56. Является ли оператор :, где,линейным? Если да, найти его матрицу в базисе.

57. Линейный оператор на плоскостихОу зеркально отражает все векторы относительно оси Оу, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую. Найти матрицы операторовив базисе.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .