Порядок выполнения работы

1. Составить передаточную функцию замкнутой системы.

2. Выделить из нее характеристический полином и получить полином в функции частоты.

3. Выделить действительную и мнимую части комплексного полинома и найти их корни.

4. Средствами MathCad построить годограф Михайлова.

5. Привести значения годографа на нескольких частотах.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение критерия Михайлова.

1. Как построить годограф Михайлова?

2. Дайте альтернативную формулировку критерия устойчивости Михайлова.

3. Как получить характеристический полином для построения годографа Михайлова?

4. Чем определяется запас устойчивости по критерию Михайлова?

Контрольная работа n4 Исследование устойчивости систем автоматического регулирования по амплитудно-фазовой частотной и логарифмическим характеристикам

Цель работы: освоение методов исследования устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста на основе построения АФЧХ и логарифмических амплитудной (ЛАХ) и фазовой (ЛФХ) характеристик.

Теоретическая часть

Частотный критерий Найквиста. Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой САУ по амплитудно-фазовой частотной характеристике W_P(j) ее разомкнутой цепи, если удовлетво­ряется условие

lim|W_P(j) | =С. (*)

При этом под термином "замкнутая САУ" понимается САУ, приведенная к одному динамическому звену с передаточной функцией W_P(s) в прямой цепи, охваченному единичной отрицательной обратной связью (рис.6).

Для удовлетворения условия (*) степень m числителя передаточной функции W_P(j) разомкнутой системы не должна быть выше степени n ее знаменателя, что выполняется для любых реальных систем.

На первом этапе необходимо определить устойчивость иссле­дуемой системы в разомкнутом состоянии. В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы.

X (s) W_P(s) Y (s)

Рис. 6.

Различают три случая применения критерия Найквиста.

1. Разомкнутая система устойчивая. В этом случае для устой­чивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывала точку с координатами [-1; j0].

Рис. 7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивых

разомкнутых систем

На рис.7 изображены возможные ситуации. При АФЧХ, показанной кривой 1, замкнутая система абсолютно устойчива, т. е. она остаётся устойчива и при уменьшении передаточного коэффициента разомкнутой цепи. Если АФЧХ является кривая 2, то замкнутая система условно устойчива. Она остается устойчи­вой только при значении k, лежащем в некоторых пределах. Кри­вая 3 проходит через критическую точку с координатами [-1; j0]. Это означает, что замкнутая система находится на колебатель­ной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчивая.

Для неустойчивой разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней k ее характеристического полинома имеет положительные веществен­ные части.

2. Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристический полином такой разомкнутой САУ имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части. В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ при изменении от 0 до , дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса (по часовой стрелке), не охватывала точку с координатами [-1; j0].

3. Разомкнутая система не устойчивая. Характеристический полином такой САУ имеет k корней с положительной вещественной частью. В этом, наиболее общем, случае критерий Найквиста форму­лируют так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до вектор, начало ко­торого находится в точке с координатами [-1; j0], а конец на АФЧХ разомкнутой си­стемы, повернулся в положительном направлении (против часо­вой стрелки) на угол k• 180°.

При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее при­менять другую формулировку критерия Найквиста, которая ис­пользует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении через отрезок вещественной оси от -1 до сверху вниз считают положительным и снизу вверх отрицательным (рис.8). АФЧХ может начинаться на указанном отрезке при = 0 или заканчи­ваться при = . Тогда считается, что она совершает полпере­хода.

Рис.8. Обозначение знака пе­рехода АФЧХ через отрезок веще­ственной оси от - 1 до -

Критерий формулируют так: замкнутая система устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разом­кнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до - равен k/2. Здесь k — число корней характеристического полинома разомкнутой системы с положительной частью.

При наличии у характеристического полинома нулевых и чисто мнимых корней АФЧХ на участках разрыва должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса.

Для применения критерия Найквиста исследуемая система может быть разомкнута в любой точке, т.е. может быть разомкнута не главная обратная связь,

а одна из местных обратных связей.

При использовании критерия устойчивости Найквиста по АФЧХ о запасе устойчивости САУ можно судить по степени удалённости годографа W_P(j) от точки с координатами [-1; j0].

Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Основное удобство применения критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что он легко переносится на логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, которые, в свою очередь, могут быть легко построены, особенно в том случае, если разомкнутая САУ представляется в виде совокупности последовательно соединенных типовых динамических звеньев.

Применительно к ЛАФЧХ критерий может быть сформирован так: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАХ (L()>0) разность между числом положительных и отрицательных переходов ФЧХ через линии -180⁰; 3180⁰… равнялась k/2, где k - число корней с положительной вещественной частью характеристического полинома разомкнутой САУ. Пересечение ФЧХ линий -180; 3180… снизу вверх считается положительным переходом, а сверху вниз - отрицательным.

Из анализа графиков рис.9 видно, что разность между положительными и отрицательными переходами ЛФХ через -180⁰ при L()>0 равна +1. Таким образом, если знаменатель передаточной функции W_P(s) имел 2 “плохих” корня (k=2), то замкнутая система будет устойчива.

Рис. 9. Логарифмические частотные характеристики неустойчивой

(k= 2) ра­зомкнутой системы

Типичные логарифмические характеристики разомкнутой САУ приведены на рис.10.