22

Контрольная работа № 1 Типовые звенья систем автоматического регулирования

Цель работы: изучение типовых звеньев систем автоматического регулирования и построение частотных, временных и логарифмических характеристик.

Теоретическая часть

Звенья систем автоматического управления и регулирования различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей все их динамические свойства и характеристики. Основными типами звеньев являются: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.

Позиционными звеньями называются такие, передаточные функции которых имеют вид:

, ,

где - изображение по Лапласу сигнала на входе звена;- изображение по Лапласу сигнала на выходе звена;-коэффициент усиления звена;s -оператор Лапласа; многочлены иимеют свободные члены, равные 1, то есть эти звенья обладают статической характеристикой(при), определяющей их состояние равновесия (свойство позиционности).

У дифференцирующих звеньев передаточная функция имеет вид

,

где имеет свободный член, равный 1. Для двукратно дифференцирующего звена числитель передаточной функции имеет вид.

Передаточные функции интегрирующих звеньев имеют соответственно вид:

или ,

где имеет свободный член, равный 1.

Основными позиционными звеньями являются:

- идеальное усилительное звено

, ;

- апериодическое звено первого порядка

, ,

где - оператор дифференцирования;

- апериодическое звено второго порядка

, , при;

- колебательное звено

, ,

где - коэффициент демпфирования,.

К интегрирующим звеньям относятся:

- идеальное интегрирующее звено

или ,;

- инерциальное интегрирующее звено

, .

К дифференцирующим звеньям относятся:

- идеальное дифференцирующее звено

, ;

- форсирующее звено

, .

Основные характеристики звеньев

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) звена определяется

путем подстановки в операторную передаточную функцию звена (где- круговая частота,) и выделении действительной и мнимой частей.

Например, для апериодического звена 1-го порядка получаем

Амплитудная частотная характеристика звена (АЧХ): .

Фазовая частотная характеристика звена (ФЧХ): .

В терминах MathCad указанные операции легко могут быть проведены следующим образом:

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ):

.

-45

-90

Рис.1. АФЧХ и ЛАФЧХ для апериодического звена 1-го порядка

Переходная и весовая функции звена

Переходной функцией называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, то есть переходный процесс на выходепри единичном скачке на входе звена.

Следовательно,

, ,

откуда переходная функция

.

Используя переходную характеристику, можно определить реакцию на входное воздействие, заданное произвольной кривой при помощи интеграла Дюамеля

.

1

0 0

а) б)

Рис.2. График единичной ступенчатой функции (а) и

реакция типового колебательного звена (б)

Часто встречающимся воздействием на реальные системы являются кратковременные, но существенные по величине всплески, импульсы. Например, порывы ветра, ударная нагрузка и т. п. Моделирование подобного рода воздействий осуществляется с помощью единичной импульсной функции , имеющей следующее определение

при .

Импульсная единичная функция относится к классу обобщенных функций и представляет собой производную от единичной ступенчатой функции:

.

Реакцию звена или системы на единичную импульсную функцию называют импульсной характеристикой (весовой функцией). Между весовой и переходной функциями звена или системы имеется следующее соотношение:

.

Пример аналитического выражения переходной и весовой функций для колебательного звена:

, .

При колебания становятся незатухающими, а приколебания превращаются в апериодический процесс.

Перед выполнением лабораторной работы создать в папке своей группы MathCad-документ, в котором будут оформлены все проводимые работы.