3.2. Уравнение колебания. Скорость. Ускорение. Квазиупругая сила

В предыдущем параграфе было установлено, несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, как по физической природе, так и по степени сложности, все они совершаются по общим закономерностям и могут быть сведены к простейшим, гармоническимколебаниям, совершаемым по закону х(t). Настала пора уточнитьфизическоесодержаниеуравнения. Для наглядности представим колебания математического и пружинного маятников на рис. 3.2.. Из рисунка следует, в уравнении колебания х(t)х– смещение колеблющегося тела из положения равновесия в заданный момент времениt,х_о– максимально возможное отклонение из положения равновесия, амплитуда колебания. Графически уравнение колебанияпредставлено на рис. 3.3. сплошной линией. Здесь_о 0 – начальная фаза, определяющая положение тела, совершающего колебательный процесс, в момент времениt0. – фаза колебания, однозначно определяющая положение тела в заданный момент времени, а – текущая фаза колебания;– циклическая частота, определяющая число колебаний за 2секунд, аT– периодколебаний, время одного полного колебания. Наряду с периодом в технике используется величина, обратная периоду и называемая частотой колебаний; её обозначают греческой буквойню,1/Т – сколько раз в единицу времени повторяется одно и то же состояние колеблющегося тела;– тригонометрическая функция, определяющая закон движения тела.

Следует ожидать, что скорость тела, как и смещение, должна изменяться по гармоническому закону. Взяв производную от смещения хпо времени, находим; здесь учтено, начальная фаза_о 0. Произведение амплитуды колебаниях_она циклическую частотуназывают амплитудой скоростиили максимальным значением скорости. Тогда аналитическое выражение скорости принимает вид;

график скорости представлен на рис. 3.3. крупным пунктиром и сдвинут по отношению к графику перемещения на /2; из него следует, что максимальное значение скорости соответствует минимальному значению перемещения, и наоборот. Убедились в этом по графику?

Уравнение скорости функционально зависит от времени, следовательно, колебательное движение совершается с ускорением. Ускорение можно найти, продифференцировав уравнение скорости по времени:

Графически уравнение ускорения представлено на рис. 3.3. мелким пунктиром. Если учесть, , а, формулу ускорения можно выразить через смещениех, то есть.

Сравнение формул смещения, скорости и ускорения приводит к следующим выводам: изменение этих физических величин совершается по закону синуса или косинуса с одинаковой циклической частотой или периодом ; амплитуды этих колебаний различны и равны соответственно,– у смещения,– у скорости и– у ускорения. Фазы колебаний также различны – изменение скорости опережает изменение смещения по фазе на, что соответствует времени Т/4; изменение ускорения опережает изменение смещения в колебательном процессе на, что соответствует времени Т/2; здесь Т – период колебания. В этом можно убедиться, глядя на рис. 3.3..

В заключение следует обратить внимание на то, что по второму закону динамики сила, действующая на тело, совершающее колебательный процесс, запишется: F  ma  –m. Отсюда может сложиться впечатление, что эта сила подобна упругой силе, поскольку она пропорциональна смещениюх и имеет противоположный знак. Поэтому такого рода силы принято называть квазиупругими (как будто упругие). Почему? (см. с. 14, может оказать помощь).