1.2. Двоичная система счисления
В двоичной системе счисления для изображения чисел используют только две цифры 0 и 1.
С помощью двоичных кодов можно кодировать и хранить в памяти ЭВМ любую алфавитно-цифровую информацию. Каждому символу присваивается свой код. С помощью кода, состоящего из n- разрядов, можно закодировать (представить) 2nразличных символов.
Информация хранится в байтах. 1 байт = 8 бит – т.е. для кодирования используется восьмиразрядный двоичный код.
Основанием двоичной системы является число 2.
Пример 2.
101(2)=1*22+0*21+1*20=4+0+1=5(10).
101(2)=>5(10).
(Любое число в 0-ой степени равно 1)
Арифметические операции в двоичной системе счисления
Таблица 2
|
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
|
0+0=0 |
0-0=0 |
0*0=0 |
|
1+0=1 |
1-0=1 |
1*0=0 |
|
0+1=1 |
0-1=1 |
0*1=0 |
|
1+1=10 |
1-1=0 |
1*1=1 |
При сложении двух чисел, равных 1, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.
Пример 3.
,
где 101(2)=> 5(10), 11(2)=> 3(10), 1000(2)=> 8(10).
Действительно: 5+3=8.
При вычитании из 0 единицы, занимается единица из старшего ближайшего разряда, отличного от 0. При этом, единица занятая в старшем разряде, даёт 2 единицы в младшем разряде и по единице во всех разрядах между старшим и младшим.
Пример 4.
,
где 101(2)=>5(10), 11(2)=>3(10), 10(2)=>2(10).
Действительно: 5-3=2.
Операция умножения сводится к многократному сдвигу и сложению.
Пример 5.
,
где 11(2)=>3(10), 10(2)=>2(10), 110(2)=>6(10).
Действительно: 3*2=6.
1.3. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Запись двоичных чисел достаточно длинна, операции над ними – утомительны. Для краткости записи двоичной информации используются системы с большим основанием. Главным требованием, предъявляемым к этим системам, является то, что перевод из этих систем в двоичную и обратно, должен быть достаточно кратким, т.е. эти системы и двоичная должны быть в некотором смысле эквивалентны. Таковыми являются восьмеричная и шестнадцатеричная системы (см. таблицу 1).
В 8-ой системе для изображения чисел используют 8 цифр: 0-7. Основанием системы являются число 8. Для перевода чисел из 2-ой системы счисления в восьмеричную, достаточно разбить двоичное число на триады (по три) двигаясь влево и вправо от десятичной точки.
Пример 6: 11 110.001 01(2)=36.12(8).
К крайним группам добавляются нули для дополнения их до трех разрядов.
8=23– отсюда триады.
В 16-й с/с для изображения чисел используется 16 символов: 10 цифр и 6 букв латинского алфавита: А, B, C, D, E, F. Основание системы – число 16.
16=24 – для преобразования двоичного числа в 16-ричное, нужно разбить его на тетрады (по четыре), двигаясь влево и вправо от десятичной точки. К крайним группам нули добавляются до 4 разрядов.
Пример 7: 1111 0101.1000 111(2)=F5.8E(16).
и обратно:
6ЕА.4(16)=110 1110 1010.0100(2).
Использование 8-ой или 16-ой систем счисления позволяет уменьшить в 3 или 4 раза количество разрядов для записи чисел.
1.4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо разложить это число по степеням основания этой системы.
Пример 8:
