равны. Их сумма даст волну, не распространяющуюся в кристалле, стоячую волну.

Волны, изображенные на рис. 5.2.18, описываются функциями :

Их сумма, при равных амплитудах, равна:

щейся вдоль оси x, но имеющей неизменное распределение вдоль оси y, стоячей. При этом период y-компоненты равен 2d, двойному межплоскостному расстоянию.

5.2.3.5Построение Эвальда

Будем по-прежнему рассматривать упругое рассеяние волн на кристалле, т.е. длины волновых векторов при рассеянии сохраняются. Учтем также, что kотр = k + G. В этом случае вся дифракционная картина может быть изображена так, как это сделано на рис. 5.2.19.

При рассмотрении этого построения нужно не забывать следующее:

1.взаимная ориентация прямой и обратной решеток однозначно определена соотношениями (5.2.2), так что и ориентация вектора k относительно обратной решетки однозначно определена условиями проведения эксперимента и легко может быть найдена;

2.ориентация вектора k определена только для плоской волны, фронт которой имеет макроразмеры. Поэтому параллельное смещение k-векторов ничего не изменяет и мы вправе изображать их в любом удобном нам месте;

3.в условии (5.2.11) G – любой вектор обратной решетки, т.е. любой из векторов, соединяющих два узла обратной решетки, в том числе

иизображенные Gi. Каждый из них перпендикулярен каким-то плоско-

33

стям прямой решетки, ориентация которых изображена на рис. 5.2.19 тонкими штриховыми линиями;

Рис. 5.2.19. Построение Эвальда.

В обратном пространстве кристалла

4.при таком построении проекция k на любой из изображенных Gi,

атакже и проекции ki на порождающие их Gi, действительно равны их половине, как это показано для G1.

5.2.3.6Зона Бриллюэна

Построим в обратном пространстве кристалла все волновые векторы, для которых выполняется условие Вульфа–Брэгга. Как и раньше, их начала совместим с началом координат, обозначаемом обычно как точка Г. Концы векторов заполнят некоторую поверхность (вернее, множество поверхностей), форму которой легко получить из (5.2.11). Но сначала для удобства перепишем (5.2.11) в виде

Это равенство выполняется всегда, когда проекция волнового вектора на какой–либо вектор обратной решетки равна его половине. Если учесть, что в обратной решетке существует бесконечное множество параллельных векторов, величины которых кратны некоторому минимальному для данного направления вектору G1, то окажется, что отражение возникает во всех случаях, когда проекция волнового вектора кратна половине G1. В том числе – на поверхности ячейки Вигнера– Зейтца обратной решетки, которую мы ограничили плоскостями, перпендикулярными к центрам векторов решетки (нас интересует в первую очередь внутренний объем, ограниченный плоскостями, ближайшими к началу координат, но не надо забывать, что имеются и удаленные плоскости, и объемы между ними). Внутренний объем включает только точки с такими координатами, проекция которых на основные оси обратного пространства не превышает ±½G1.

34

Ячейка Вигнера–Зейтца в обратном пространстве называется ЗОНОЙ БРИЛЛЮЭНА. Ее объем включает все физически значимые (для законов распространения волн) величины волновых векторов.

На рисунке 5.2.20 изображена зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки – ячейка Вигне- ра–Зейтца в обратной решетке ОЦК– структуры. Она соответствует таким кристаллам, как алмаз, Ge, Si, GaAs, ZnS (цинковая обманка) и многим другим. Там же отмечены принципиальные точки на ее поверхности и существенные оси симметрии. Полезно также иметь в виду, что, согласно определению векторов обратной решетки (5.2.2), в кристалле с

прямоугольной элементарной ячейкой направления основных векторов обратной решетки совпадают с направлением основных векторов прямой решетки.

Центр зоны Бриллюэна всегда обозначается символом Г (гамма). Точки на поверхности L, X, K – точки выхода осей вращения соответственно 3-го, 4-го и 2-го порядков. Это, как и точки U, W – точки с однозначно определенными координатами. Символами Λ, , ∑, Z, S обозначаются произвольные точки на определенных направлениях, см.

рис. 5.2.20.

В дальнейшем, если будет сказано, что "экстремум энергетической зоны находится в точке L", это будет означать, что он соответствует движению электрона в направлении пространственной диагонали эле-

ментарной ячейки, с волновым вектором k = π 3 2a (а – постоянная

ГЦК–решетки). Если же сказано, что "экстремум энергетической зоны находится в точке ", то направление движения электрона с экстремальной энергией определено однозначно, вдоль одной из главных осей кристалла, а величина волнового вектора не определена. Ясно только, что она не равна ни нулю, ни π/a.

35

Это – первая зона Бриллюэна, соответствующая волновым векторам в пределах (5.2.10). В дальнейшем, при рассмотрении электронных свойств кристаллов, нам понадобится ввести представления о второй, третьей и т.д. зонах Бриллюэна. Они содержат большие волновые векторы. Большие k, как мы увидим, соответствуют и большей энергии – более высоким энергетическим зонам, но в законах сохранения импульса будет фигурировать только величина k, определенная с точностью до произвольного вектора обратной решетки. Поэтому для анализа энергетической структуры и закономерностей межзонных электронных переходов вполне допустимо приведение высоких зон Бриллюэна к первой. Объемы всех зон Бриллюэна равны. Изменением реальных соответст-

Сказанное легко продемонстрировать в двумерном изображении. На рис. 5.2.21 показано сечение двух первых зон Бриллюэна кубического кристалла, которому в обратном пространстве также соответствует куб. Сместив заштрихованные области к центру

на одну постоянную обратной решетки (расстояние между жирными точками), мы заполним как раз площадь, занимаемую первой зоной Бриллюэна.

Отметим сразу еще один важный факт. Хотя частицу (например, электрон) в кри-

сталле в общем случае нельзя рассматривать как свободную, в какой–то мере можно ожидать подобия их свойств. По крайней мере, представление о том, что энергия должна возрастать с увеличением волнового вектора, почти всегда справедливо. Тогда в первой зоне Бриллюэна центр (точка Г) соответствует минимальной энергии, а поверхность – максимальной. Для второй зоны все оказывается наоборот – точки с максимальными k после приведения к первой зоне оказываются в центре.

36