D( Е) (см. раздел 5.4.1.5, стр 60), концентрации и энергии локальных состояний в запрещенной зоне, температура.

Фигурирующая в (5.7.1), (5.7.2) величина энергии Ферми F не является какой-то точно заданной величиной, как, например, энергии краев зон или локальных состояний. Это – некоторая средняя энергия электронного ансамбля и она, конечно, может зависеть от условий, в которые мы поместили кристалл. В том числе – от температуры. Но вот полный заряд кристалла от температуры и иных внешних воздействий не зависит ни как. Будем считать его равным нулю1. Тогда при любой температуре сумма положительных зарядов, свободных и локализованных, должна быть равна сумме отрицательных:

Здесь n и p – концентрации электронов в с-зоне и дырок в v-зоне, Na− и Nd+ – концентрации заряженных акцепторов и доноров.

5.7.1Статистика электронов в собственном полупроводнике

СОБСТВЕННЫМИ называют полупроводники, в которых концентрация дефектов принебрежимо мала.

В практическом плане собственные полупроводники малоинтересны, так как они имеют очень низкую проводимость. Но рассмотрение их свойств весьма полезно, так как, во-первых, это – одно из предельных состояний полупроводника, во-вторых, перенос заряда в любом случае2 осуществляется именно по собственным состояниям. И, наконец, в практически важных полупроводниковых устройствах, диодах, транзисторах и т.д., обязательно где-то между электродами присутствует слой с собственной проводимостью, запорный слой. И энергетическое распределение, и подвижности носителей в зонах, в первом приближении можно считать одинаковыми и в собственном, и примесном полупроводниках.

1Кристалл можно зарядить, но даже при потенциале 106 В количество электронов в кристалле объемом 1 мм3 изменится меньше, чем на 10-6 % !

2Проводимость по примесным состояниям возможна, но лишь тогда, когда расстояния между примесными атомами становятся достаточно малы, т.е. при очень большой их концентрации. Мы такие ситуации рассматривать не будем.

106

5.7.1.1Концентрация носителей

Для определенности мы будем говорить об электронах в с-зоне. Все соображения целиком переносимы на дырки в v-зоне, отличие только в направлении отсчета энергии и в законах дисперсии. Мы будем считать их параболическими, т.е. характеризуемыми ЭФФЕКТИВНЫМИ МАССА-

МИ, см. разд. 5.4.1.6, стр. 62 и (5.4.22).

Количество электронов с энергиями от Е до E + dE, N(E), определяется плотностью состояний D(Е−Ec) (см. разд. 5.4.1.5, стр. 60 и (5.4.19)) и функцией заполнения (5.7.1). Объем считаем единичным, так что

Концентрация электронов – интеграл от (5.7.6) по всей зоне. Верхний предел интегрирования можно положить равным бесконечности, поскольку функция Ферми (5.7.1) достаточно быстро стремится к нулю при возрастании энергии Е.

Интеграл в (5.7.7) в явном виде не берется, он сводится к так называе-

107

зависящая только от температуры и кривизны закона дисперсии Е(k), т.е. эффективной массы mn, называется ЭФФЕКТИВНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

Далее мы всегда будем считать, что полупроводник далек от вырождения. Тогда единицей в знаменателе (5.7.1), (5.7.8) можно пренебречь (принцип Паули не существенен) и функция заполнения (5.7.1) превращается в больцмановскую, интеграл в (5.7.7) берется. Получаем:

Распределение (5.7.6) для параболической зоны в невырожденном случае не отличается от максвелловского. Если концентрация электронов во всех случаях достаточно мала для того, чтобы запрет Паули не влиял на распределение носителей по состояниям (такой ансамбль называют ФЕРМИ-ГАЗОМ) и закон дисперсии в зоне можно считать параболическим, то распределение в Ферми-газе – то же, что в идеальном газе молекул. В нормированном на единицу виде получим:

108

Здесь Еk ≡ Е − Ec > 0.

Как известно (см., например, [5]), средние параметры движения частиц при максвелловском распределении равны:

Заметьте, что от положения уровня Ферми они не зависят. При Т = 300 К и m* = 0.1m0 получим средние значения:

При постоянной решетки порядка 0,3 нм размер зоны Бриллюэна равен ±108 см-1, так что термически равновесные электроны заполняют лишь малую область близ ее минимума.

Средняя длина волны λ = 2π/k ≈ 22 нм, много больше постоянной решетки.

5.7.1.3 Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

Энергию Ферми F можно определить из условия электронейтральности. В собственном полупроводнике это: n = p ≡ ni.,т.е.:

109