5.7СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Зная типы и свойства электронных состояний в кристалле, можно рассчитать и концентрации носителей в зонах. Сначала – термически равновесные концентрации.
Для электронов, подчиняющихся принципу Паули, справедлива статистика Ферми-Дирака (разд. 5.4.1.7), согласно которой вероятность заполнения электроном состояния с энергией Е равна:
f (E,F) = |
|
1 |
|
|
. |
(5.7.1) |
|
E − F |
|
||||
|
exp |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
kT |
|
|
|
|
Здесь F − ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ или ЭНЕРГИЯ ФЕРМИ, т.е. средняя
энергия связи, проявляющаяся в термодинамически равновесных реакциях обмена электроном. В (5.7.1) F входит как параметр распределения. На энергетических диаграммах типа изображенной на рис. 5.6.9, ее обычно отмечают, рисуя в запрещенной (для НЕВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА1) зоне уровень с энергией F. Поэтому термин "УРОВЕНЬ ФЕРМИ" столь же обычен, как и "ЭНЕРГИЯ ФЕРМИ".
Вероятность того, что состояние свободно (или "занято дыркой") равна, очевидно, 1− f (E,F) :
fp(E,F) =1 − f (E,F) = |
|
|
1 |
|
|
. |
(5.7.2) |
|
|
E − F |
|
||||
|
exp |
− |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
kT |
|
|
|
|
Вдали от уровня Ферми, при E − F >> kT, вероятность заполнения f(E,F) стремится к предельным значениям, – к нулю при E > F и к единице при E < F. Вероятность fp(E,F), соответственно, наоборот – к единице при E > F и к нулю при E < F. В этих случаях можно считать, что принцип Паули уже не ограничивает распределения электронов по состояниям и выражения (5.7.1), (5.7.2) упрощаются. При E − F >> kT получаем обычные больцмановские факторы:
1
104
|
|
E − F |
|
E − F |
(5.7.3) |
||
f (E, F) ≈ exp |
− |
|
, |
fp (E, F) ≈ exp |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
kT |
|
kT |
|
||
Если расстояния от уровня Ферми до краев зон, Ec и Ev, больше нескольких kT, то выражения (5.7.3) справедливы для всех зонных состояний. Эту ситуацию мы будем называть ДАЛЕКОЙ ОТ ВЫРОЖДЕНИЯ1. Она представляет для нас основной интерес, поскольку является как бы "чисто полупроводниковой". Когда приближение (5.7.3) несправедливо, получим некоторые переходные электронные свойства кристалла, нечто среднее между металлом и полупроводником. Ошибка, возникающая при замене (5.7.2) на (5.7.3), не превышает 5% уже при E − F > 3kT.
Рис. 5.7.1. Фермиевская функция распределения f(E) и ее производная по энергии.
Ширина функции df/dE на полувысоте ≈ 3.5 kT
f(E) |
1 |
−df/dE |
1/4kT |
1.0 |
|
|
|
|
|
1.74 |
0.786/4kT |
0.5 |
|
0.5/4kT |
|
|
|
||
0.0 |
|
|
|
|
−4 −2 0 2 4 (E−F)/kT |
||
На рис. 5.6.1 изображена функция (5.7.1) и производная от нее по энергии (со знаком минус):
|
|
|
|
|
|
E −F |
|
|
|
||||
df(E) |
|
1 |
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= − |
|
|
|
kT |
|
|
|
. |
(5.7.4) |
||||
dE |
kT |
|
E −F |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
exp |
|
|
|
+1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
||
Термически равновесное распределение электронов по всем возможным состояниям может быть определено, если известны ширина запрещенной зоны Еg, распределение плотности состояний в зонах
1 Вырожденным называют полупроводник, в котором уровень Ферми находится в одной из разрешенных зон. В этом случае концентрация электронов конечна и при нулевой температуре, кристалл имеет металлическую проводимость.
105