Во-вторых, возникают специфические свойства волн возбуждения в кристаллах. Например, волна деформации (фонон). Любое выражение для нее оказывается избыточно в том смысле, что оно описывает закон смещения всех точек пространства, в то время как физический смысл имеет только смещение атомов, узлов решетки. Поэтому оказываются физически неразличимыми выражения, описывающие фононные волны разной длины, но дающие для узлов одинаковый закон смещения, см.

рис. 5.2.15.

И, наконец, в-третьих, периодичность кристалла и идентичность всех составляющих его ячеек позволит нам предположить, что в некоторой далекой от рассматриваемого центра точке кристалла все эффекты происходят точно так же, как и в исходной. Мы этим воспользуемся при выборе граничных условий, накладываемых на стационарные состояния электронов в кристаллах.

5.2.2Обратное пространство, обратная решетка

Для описания законов взаимодействия волн с кристаллическим по-

лем удобно ввести понятие и определение ОБРАТНОЙ РЕШЕТКИ.

Построим на элементарных векторах прямой решетки ai элементарные векторы обратной решетки bi следующим образом:

В числителе выражений (5.2.2) – векторные произведения двух основных векторов прямой решетки. Величины этих произведений равны площадям соответствующих граней элементарной ячейки, а направления перпендикулярны к этим граням. В знаменателе – векторноскалярное произведение всех трех векторов, т.е. объем элементарной ячейки Ω. Таким образом, размерность bi – обратная длина. Они перпендикулярны основным кристаллографическим плоскостям. Их величина равна 2π/d, где d – расстояние между этими плоскостями. Коэффициент 2π введен просто для удобства, чтобы реже его писать в дальнейшем.

Если мы имеем кристалл со взаимно перпендикулярными осями, α=β=γ=90о, то направления векторов прямой и обратной решеток совпадают, иначе – нет. Но в любом случае вектор bi перпендикулярен век-

24

торам ak≠i, т.е. для скалярных произведений векторов прямой и обратной решеток выполняются соотношения:

На векторах bi в обратном пространстве можно построить решетку так же, как строили решетку кристалла в прямом пространстве. Получится обратная решетка, в которой так же, как и в прямой, можно определить векторы трансляции:

кристаллографические плоскости и т.д. При этом всегда справедливо:

1. Произведение любых векторов прямой и обратной решеток кратно 2π:

2. Вектор обратной решетки с индексами g1, g2, g3 перпендикулярен плоскостям прямой решетки с теми же индексами Миллера.

Действительно, плоскость, отсекающая на осях отрезки а1, 2а2 и 3а3, имеет индексы Миллера (g 11 , g 12 , g 13)= (632), при g = 6. Векто-

ры, равные разностям любой пары из векторов [100], [020], и [003], лежат в этой плоскости. Легко видеть, что скалярное произведение вектора обратной решетки (632) на любой из этих векторов, например,

120 , равно нулю:

(а1 – 2а2) (6b1 + 3b2 +2b3) = 2π(6-6) = 0.

Следовательно, любой вектор обратной решетки перпендикулярен плоскости прямой решетки с теми же индексами Миллера.

25

Чтобы определить соотношение размеров прямой и обратной ячеек, вычислим длины векторов bi и ребра G объемоцентрированного куба в обратном пространстве.

27