22

6 Уравнение постоянства расхода

6.1 Основные теоретические сведения

Объёмным расходом потока Q называется объём жидкости V, проходящий в единицу времени t через живое сечение потока, м³/с:

Q = . (6.1)

Массовым расходом потока Q_m называется масса жидкости m, проходящий в единицу времени t через живое сечение потока, кг/с:

Q_m = . (6.2)

Уравнение неразрывности течения (сплошности потока) в интегральной форме в случае одномерного приближения принимает вид уравнения постоянства расхода:

 для слобосжимаемой (или трудносжимаемой) жидкости ( = const) это уравнение постоянства объёмного расхода – объёмный расход потока вдоль по течению неизменен.

Q = v × , (6.3)

где Q – объёмный расход, м³/с;

v – средняя скорость в живом (поперечном) сечении потока, м/с;

 – площадь живого (поперечного) сечения потока, м².

 для сжимаемой жидкости (  const) это уравнение постоянства массового расхода – массовый расход потока вдоль по течению неизменен.

Q_m =  × v × , (6.4)

где Q_m – массовый расход, кг/с

 – плотность жидкости, кг/м³.

6.2 Примеры решения задач

Пример № 6.1. Определите массу жидкости плотностью 780 кг/м³, которая пройдёт через живое сечение круглого напорного трубопровода диаметром d = 0,2 м за 10 минут. Средняя скорость жидкости в поперечном сечении потока v равна 1,5 м/с.

Решение

Массу жидкости, проходящую через живое сечение трубопровода за время t можно определить из уравнения (6.2) Q_m = :

m = Q_m  t.

В системе СИ время t = 10  60 = 600 с.

Массовый расход жидкости определяем, используя уравнение постоянства массового расхода (6.4). Учитываем, что для круглого напорного трубопровода площадь живого сечения  = .

Q_m =  × v ×  =  × v × ;

Q_m = 780 × 1,5× = 36,738 (кг/с).

Искомая масса жидкости равна:

m = 36,738  600 = 22042,8 (кг).

Пример № 6.2. Определите размер квадратного напорного трубопровода. За 3 минуты через поперечное сечение трубопровода проходит 7,2 м³ жидкости постоянной плотности. Средняя скорость потока в живом сечении составляет 1,0 м/с.

Решение

Размер, то есть сторону квадратного напорного трубопровода при  = const можно определить из уравнения постоянства объёмного расхода (6.3) Q = v × :

 = .

Для квадратного напорного трубопровода площадь живого (поперечного) сечения потока  = a². Тогда размер трубопровода равен:

а = .

По уравнению (6.1) объёмный расход потока Q равен:

Q = .

В системе СИ время t = 3  60 = 180 с.

Q = = 0,04 (м³/с).

 = = 0,04 (м²).

а = = 0,2 (м).

7 Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости (без учёта потерь энергии)

7.1 Основные теоретические сведения

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии для потока идеальной жидкости. Каждый член этого уравнения представляет собой удельную энергию.

Уравнение Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости в форме давлений имеет вид:

  g  z₁ + р₁ +   ₁  =  g  z₂ + р₂ +   ₂  =const, (7.1)

где   g  z – гравитационное давление;

р – статическое давление;

  –динамическое давление;

  коэффициент кинетической энергии (коэффициент Кориолиса).

В этой форме представления каждый член уравнения имеет размерность давления (Па) и представляет собой энергию, отнесённую к единице объёма.

Величина коэффициента Кориолиса отражает степень неравномерности распределения скоростей по сечению потока.

При прямолинейном турбулентном движении в трубах  = 1,03…1,1. Обычно при расчётах при турбулентном течении в трубах принимают коэффициент Кориолиса  равным 1,1 или 1. При прямолинейном ламинарном движении в трубах  = 2.

Уравнение Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости в форме напоров имеет вид:

z + +  =Н = const, (7.2, а)

или для двух произвольных сечений

z₁ + +₁  = z₂ + +₂  =Н = const. (7.2, б)

где z – удельная потенциальная энергия положения;

–удельная потенциальная энергия давления;

–удельная кинетическая энергия;

Н – полная удельная энергия потока.

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли в форме напоров имеет размерность длины (м) и представляет собой энергию, отнесённую к единице веса (1 Н), то есть удельную энергию. Единица измерения этой величины ==.

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли можно сформулировать так:

при установившемся движении невязкой несжимаемой жидкости вдоль потока сумма удельных энергий – потенциальной (положения и давления) и кинетической – есть величина постоянная.

Так как все члены уравнения Бернулли в форме напоров имеют линейную размерность и их можно интерпретировать как высоты:

z – геометрическая высота, то есть высота положения рассматриваемой точки пространства с жидкостью (центра тяжести сечения) над горизонтальной плоскостью сравнения x0y;

–высота давления, если в уравнении Бернулли р – это полное (или абсолютное) давление. Если в уравнении р – избыточное давление, то величина называется пьезометрической высотой;

  –скоростная (или динамическая) высота.

Н – полная высота в данном сечении потока.

Таким образом, геометрический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать так:

при установившемся движении невязкой несжимаемой жидкости вдоль потока сумма высот – положения (геометрической), давления (или пьезометрической) и скоростной – есть величина постоянная.

На практике часто используют понятие напора:  гидростатический напор,  пьезометрический напор,  динамический напор,  гидродинамический напор.