3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение  на A есть отношение эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности ab часто обозначается: a  b.

Пример .. Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.



Пример .. Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X.



Пример .. Пусть  - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из  сравнимыми по модулю m (m) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m, т.е. разность (xy) делится на m.

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе . В самом деле:

это отношение рефлексивно, т.к. для x имеем xx=0, и, следовательно, оно делится на m;

это отношение симметрично, т.к. если (xy) делится на m, то и (yx) тоже делится на m;

это отношение транзитивно, т.к. если (xy) делится на m, то для некоторого целого t₁ имеем , а если (yz) делится на m, то для некоторого целого t₂ имеем , отсюда , т.е. (xz) делится на m.



Определение 3.7. Отношение  на A есть отношение частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом .

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример .. Отношение xy на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. 

Пример .. Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение AB есть отношение частичного порядка.



Пример .. Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.



Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта.

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т.е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P, которое можно определить как «aPb, a, bA  объект a не менее предпочтителен, чем объект b» является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a, то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т.е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование, т.е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.