Лекция 19.
п.17. Транспортная задача.
17.1. Постановка транспортной задачи
по критерию стоимости в матричной форме.
Рассмотрим простейший вариант модели транспортной задачи (ТЗ), когда речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителя к потребителям; при этом имеется баланс между суммарным спросом потребителей и возможностями поставщиков по их удовлетворению. Причем потребителям безразлично, из каких пунктов производства будет поступать продукция, лишь бы их заявки были полностью удовлетворены. Так как от схемы прикрепления потребителей к поставщикам существенно зависит объем транспортной работы, возникает задача о наиболее рацио-нальном прикреплении, правильном направлении перевозок грузов, при котором потреб-ности полностью удовлетворяются, вся продукция от поставщиков вывозиться, а затраты на транспортировку минимальны.
Транспортную задачу можно сформулировать следующим образом, представив ее в виде таблицы, которую называют распределительной. Распределительную таблицу назы-вают иногда табличной или матричной моделью ТЗ.
Поставщики |
Потребители |
Запас груза, ai |
|||
B1 |
B2 |
… |
Bn |
||
A1 |
c11 x11 |
c12 x12 |
… |
c1n x1n |
a1 |
A2 |
c12 x12 |
c22 x22 |
… |
c2n x2n |
a2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Am |
cm1 xm1 |
cm2 xm2 |
… |
cmn xmn |
am |
Потребность в грузе, bj |
b1 |
b2 |
… |
bn |
|
В m пунктах отправления A1, …, Am сосредоточен однородный груз в количествах соответственно a1, …, am единиц. Имеющийся груз необходимо доставить потребителям B1, …, Bn, спрос которых выражается величинами b1, …, bn единиц. Известна стоимость cij перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Удельные транспортные издержки (расходы) записывают в форме матрицы , которую называют матрицей тарифов. Требуется спланировать перевозки, т.е. указать, сколько единиц груза должно быть отправлено от i-го поставщика j-му потребителю, так, чтобы максимально удовлетворить спрос потребителей и чтобы суммарные транспортные затраты на перевозки были при этом минимальными. Рассмотрим простейший случай, когда суммарные запасы поставщиков равны суммарным потребностям
Для составления математической модели задачи введем переменные xij , обозначающие количество единиц груза, которые необходимо доставить из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Все эти переменные можно записать в виде матрицы , которая будет называться матрицей перевозок:
.
Цель транспортной задачи – минимизировать общие затраты на реализацию плана перевозок, которые можно представить целевой функцией:
. (17.1.1.)
Переменные должны удовлетворять следующим условиям:
1) ограничения по запасам:
(17.1.2.)
2) ограничения по потребностям:
(17.1.3.)
3) условия неотрицательности:
xij 0 . (17.1.4.)
где cij – стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения;
- количество груза, сосредоточенного в пункте ;
- количество груза, необходимое для доставки потребителю .
Если план перевозок удовлетворяет ограничениям (17.1.2) – (17.1.4.), то такой план называется допустимым. Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции называется оптимальным. В следующей теореме, которую примем без доказательства, введем критерий существования допустимого плана.