Решение.
1) Найдем суммарные запасы продукции и суммарные потребности 150+380=890; b1+b2+b3+b4=270+190+340+200=1000. Поскольку ,то есть отсутствует баланс между производимой продукцией и потребнос-тями, то мы имеем задачу открытого типа. Вводим фиктивного поставщика A4, который имеет запас продукции в объеме (един.). Все тарифы на доставку продукции фиктивного поставщика равны нулю, т.е. c41=c42=c43=c44=0
Данные задачи заносим в таблицу 1.
Табл. 1.
Поставщики |
Потребители |
Запас груза, ai |
|||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
||
A1 |
7
|
3 160 |
6
|
1 200 |
360 |
A2 |
5
|
2 30 |
4 120 |
8
|
150 |
A3 |
3 160 |
5
|
7 220 |
9
|
380 |
A4 |
0 110 |
0
|
0
|
0
|
110 |
Потребность в грузе, bj |
270 |
190 |
340 |
200 |
1000 |
Начальный опорный план получим по правилу «минимального элемента».
Загрузку начинаем с клетки, которой соответствует наименьший тариф cij≠0 всей матрицы тарифов. В нашем случае минимальным тарифом является с14=1, который соот-ветствует клетке (1, 4). В эту клетку вписываем x14=min (360; 200)=200. Исключаем четвертый столбец. У поставщика A1 осталось еще 160 единиц продукции, которые по-местим в клетку (1, 2). Исключаем первую строку. Но потребителю B2 необходимо еще 30 ед. продукции, которые берем у поставщика A2, и помещаем в клетку (2, 3). Исключаем второй столбец. Оставшиеся у поставщика A2 120 ед. продукции помещаем в клетку (2, 3). Исключаем вторую строку. Необходимые потребителю B3 220 ед. продукции берем у поставщика A3 и помещаем в клетку (3, 3). Исключаем третий столбец. В пункте A3 оставшиеся 160 ед. продукции помещаем в клетку (3; 1). Исключаем третий столбец. Оставшиеся 110 ед. помещаем в клетку (4; 1).
Полученный нами план является невырожденным, так как выполняется условие базисных клеток: m+n1=4+41=7, и число заполненных клеток тоже 7. А значит, полу-чено опорное решение, которое запишем матрицей
.
Методом потенциалов проверим, является ли полученное решение оптимальным. Для этого каждому поставщику и потребителю придается число, называемое потен-циалом. Потенциалы выбираем так, чтобы их сумма для каждой загруженной клетки была равна тарифу перевозки единицы груза, т.е.
ui+vj=cij,
где ui – потенциал i-го поставщика;
vj – потенциал j-го потребителя;
cij – тариф заполненной клетки.
В нашем случае получаем следующие уравнения:
Полагая v4=0, получаем следующие потенциалы:
u1=1 u3=3 v1= 0 v3= 4
u2=0 u4=0 v2= 2 v4=0
Все полученные данные заносим в таблицу 2.
Далее вычисляем оценки свободных клеток по формуле: .
s11=c11-(u1+v1) =7-(1+0) =6 0 s24=c24-(u2+v4) = 8-(0+0) =8 0 s42=c42-(u4+v2) = 0-(0+2) = -2
s13=c13-(u1+v3) = 6-(1+4) =1 0 s32=c32-(u3+v2) = 5-(3+2) = 0 s43=c43-(u4+v3) = 0-(0+4) = -4
s21=c21-(u2+v1) = 5-(0+0) =5 0 s34=c34-(u3+v4) = 9-(3+0) = 6 0 s44=c44-(u4+v4) = 0-(0+0) = 0
Так как s42<0, и s43<0 то полученный план не является оптимальным. Наиболее потенциальной клеткой является клетка (4; 3). Поэтому строим для клетки (4; 3) замк-нутый цикл, который в таблице 2 выделяем пунктирной линией:
(4, 3)→(3, 3)→(3, 1)→(4, 1).
Свободной клетке условно приписываем знак «+», тогда следующей клетке по ходу часовой стрелки – знак «-» и т.д., знаки чередуются.
В отрицательных вершинах цикла определяем наименьшую загрузку клетки, т.е.
min (x33, x41)=min (220, 110)=110.
Количество продукции, равное 110ед., прибавляем к поставкам в клетках со знаком «+» и вычитаем из поставок в клетках со знаком «-».
Получаем новый план, который заносим в таблицу 3.
Проверяем, является ли полученный план оптимальным. Для этого каждому поставщику и потребителю придаем число – потенциал. Вычисляем потенциалы так же, как это делали выше:
.
Полагая v3=0, получаем следующие потенциалы, которые заносим в таблицу 4:
u1=5 u3=7 v1= -4 v3= 0
u2=4 u4=0 v2= -2 v4= -4
Вычисляем оценки свободных клеток:
s11=7-(5-4) =6 0 s24=8-(4-4) = 8 0 s41=0-(0-4) = 4 0
s13=6-(5+0) =1 0 s32=5-(7-2) = 0 s42=0-(0-2) =2 0
s21=5-(4-4) =5 0 s34=9-(7-4) = 6 0 s44=0-(0-4) = 4 0
Поскольку все sij>0, то полученный план является оптимальным, который можно представить в виде матрицы
.