Лекция 2. П.2. Декартово произведение. Мощность множества.

2.1. Декартово произведение множеств.

Упорядоченная пара интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементовxиy, расположенных в определенном порядке. Две пары и считаются равными тогда и только тогда, когдаx=uиy=v.

Определение 2.1.ПустьAиB– два множества.Прямым (декартовым) произведениемдвух множествAиBназывается множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежитA, а второй принадлежитB:

.

Пример ..Пустьи. Тогда

.

.



Пример ..На координатной плоскости построить следующее множество:

(-1; 3×1; 3)

Решение.Первое множество помещаем на осиOX, второе на осиOY. Множество всех пар, т.е. декартово произведение, изображается точками заштрихованного прямоугольника, но без левой и нижней стороны.



Как вы знаете, точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, то есть двумя точками на координатных осях. Поэтому координатную плоскость можно задать в виде . Метод координат ввел в употребление Рене Декарт (1596-1650), отсюда и название «декартово произведение».

В частности, если Aпусто илиBпусто, то, по определению,ABпусто.

Понятие прямого произведения допускает обобщение.

Прямое произведение множеств A₁,A₂, …,A_n– это множество наборов (кортежей):

.

Множества A_iне обязательно различны.

СтепеньюмножестваAназывается его прямое произведение самого на себя. Обозначение:

.

Соответственно, и вообще.

Пример ..ПустьB=0, 1. Описать множествоBⁿ.

Решение.МножествоBⁿсостоит из последовательностей нулей и единиц длиныn. Они называютсястрокой битилибитовой строкойдлиныn.



2.2. Мощность множества.

Альберт Эйнштейн как-то говорил: «Не все, что можно сосчитать, сосчитано, и не все, что сосчитано, можно сосчитать». Хотя это высказывание не очень воодушевляет, попытаемся заняться подсчетами.

Говорят, что между множествами AиBустановленовзаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множестваAсоответствует один и только один элемент множестваBи каждому элементу множестваBсоответствует некоторый элемент множестваA. В этом случае говорят также, что множестваAиBизоморфныи используют обозначениеAB.

Определение 2.2. Два множестваAиBназываютсяэквивалентными, илиравномощными, если между этими множествами может быть установлено взаимно однозначное соответствие. В этом случае пишут:AB, илиA=B, и говорят, что множестваAиBимеют равныемощности.

Пример ..1) Множество десятичных цифр равномощно множеству пальцев на руках человека.

2) Множество четных натуральных чисел (2N) равномощно множеству всех натуральных чисел (N).



Определение 2.3. МножествоAназываетсяконечным, если оно эквивалентноJ_nпри некоторомn, гдеJ_n=1, 2, …,n– множествоnпервых натуральных чисел.

Определение 2.4. Мощностью конечного множестваA, которое содержитkэлементов, называется число его элементов. Она обозначаетсяA=k. Пустое множество считается конечным с числом элементов равным нулю, т.е.=0.

Таким образом, если множество Aконечно, т.е.A=k, то элементыAвсегда можноперенумеровать, то есть поставить в соответствие элементам номера из отрезка натурального ряда 1..kс помощью некоторой процедуры. Наличие такое процедуры подразумевается, когда употребляется записьA=a₁, a₂, …, a_k.

Пример ..В компьютере все множества реальных объектов конечны: множество адресуемых ячеек памяти, множество исполнимых программ, множество тактов работы процессора.



Множества, которые не являются конечными, называются бесконечными. Если некоторое множествоAравномощно множествуN, т.е.AN, то множествоAназываетсясчетным(в зарубежной литературе: множество называются счетным, если оно конечно или счетно бесконечно). Счетное множествоA– это такое множество, все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную последовательностьa₁, a₂, …, a_n, …, так, чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номерnи каждое натуральное числоnбыло бы номером лишь одного элемента множестваA. Мощность счетного множества принято обозначать через(– первая буква древнееврейского алфавита, называемая «алеф», символчитается: «алеф-нуль»). В частностиN=.

Пример ..МножествоZ– множество целых чисел счетно.

Решение.Рассмотрим множество целых чиселZ:

…, n, …,3,2,1, 0, 1, 2, 3, …,n, … .

На первый взгляд, кажется, что это множество невозможно перенумеровать. Однако эту нумерацию можно осуществить, применив следующую хитрость: двигаясь не в одном направлении, а все время менять его. Иными словами, будем нумеровать так: числу 0 дадим номер 1, числу 1 – номер 2, числу 1 – номер 3, числу 2 – номер 4, числу2 – номер 5, и т.д. Таким образом, получаем взаимно однозначное соответствие между множествомZиN. А значит, множествоZсчетно.



Множество Aназываетсянесчетным, если его мощность больше мощности множестваN. В таком случае множествоAназываетсяконтинуальнымиликонтинуумом. Мощность континуума обозначается. Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 2.1.Множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, т.е.R=C.