Лекция 20. П.17. Транспортная задача.

Пример 17.2.В пунктахпроизводится однородная продукция в коли-чествахединиц. Готовая продукция поставляется в пункты, потребности которых составляютединиц. Стоимостьc_ijперевозки единицы продукции из пунктаA_iв пунктB_jзаданы матрицей:

.

Требуется:

1) методом потенциалов найти план перевозок продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее доставке потребителям;

2) вычислить суммарные затраты f_min.

Решение.

1) Найдем суммарные запасы продукции и суммарные потребности 900+100=1500;b₁+b₂+b₃+b₄=200+650+150+300=1300. Поскольку,то есть отсутствует баланс между производимой продукцией и потребнос-тями, то мы имеем задачу открытого типа. Вводим фиктивного поставщикаA₄, который имеет запас продукции в объеме(един.). Все тарифы на доставку продукции фиктивного поставщика равны нулю, т.е.c₁₅=c₂₅=c₃₅=0

Данные задачи заносим в таблицу 1.

Табл. 1.

Поставщики	Потребители					ui
	B1 (200)	B2 (650)	B3 (150)	B4 (300)	B5 (200)
A1 (500)	7	7	8	4 300	0 200	0
A2 (900)	6 100	1 650	2 150	7	0 0	0
A3 (100)	4 100	7	5	6	0	 2
vj	6	1	2	4	0

Начальный опорный план получим по правилу «минимального элемента».

Загрузку начинаем с клетки, которой соответствует наименьший тариф c_ij≠0 всей матрицы тарифов. В нашем случае минимальным тарифом являетсяс₂₂=1, который соот-ветствует клетке (2, 2). В эту клетку вписываемx₂₂=min(650; 900)=650. Исключаем второй столбец. У поставщикаA₂осталось еще 250 единиц продукции, которые располагаем следующим образом: 100 единиц в клетку (2, 1) и 150 единиц в клетку (2, 3). Исключаем вторую строку и третий столбец. Но потребителюB₁необходимо еще 100 ед. продукции, которые берем у поставщикаA₃, и помещаем в клетку (3, 1). Исключаем первый столбец и третью строку. 500 единиц продукции у поставщикаA₁размещаем следующим образом: 300 единиц в клетку (1, 4) и 200 единиц – в клетку (1, 5).

Полученный нами план является вырожденным, так как не выполняется условие базисных клеток: m+n1=3+51=7, а число заполненных клеток равно 6.

В одну из базисных клеток, например, в клетку (2, 5) таблицы 1 вписываем число нуль «нуль-загрузку», и эту клетку считаем базисной.

Замечания:Нельзя вписывать 0 в клетки (3, 2) и (3, 3), поскольку образуется цикл. Если вписывать 0 в другие незанятые клетки, то произойдет перераспределение продукции, количество которого равно 0. И в итоге заполниться клетка (2, 5).

Теперь условие базисных клеток выполняется: m+n1=3+51=7. В результате получено опорное решение, которое запишем матрицей

.

Методом потенциалов проверим, является ли полученное решение оптимальным. Для этого каждому поставщику и потребителю придается число, называемое потен-циалом. Потенциалы выбираем так, чтобы их сумма для каждой загруженной клетки была равна тарифу перевозки единицы груза, т.е.

u_i+v_j=c_ij,

где u_i– потенциалi-го поставщика;

v_j– потенциалj-го потребителя;

c_ij– тариф заполненной клетки.

В нашем случае получаем следующие уравнения:

Полагая v₄=0, получаем следующие потенциалы:

u₁=0v₁= 6v₃= 4

u₂=0v₂= 1v₄=0

u₃=2v₃= 2

Все полученные данные заносим в таблицу 1.

Далее вычисляем оценки свободных клеток по формуле: .

s₁₁=c₁₁-(u₁+v₁) =7-(0+6) =1  0 s₃₂=c₃₂-(u₃+v₂) = 7-(-2+1) = 8  0

s₁₂=c₁₂-(u₁+v₂) = 7-(0+1) =6  0 s₃₃=c₃₃-(u₃+v₃) = 5-(-2+2) = 5  0

s₁₃=c₁₃-(u₁+v₃) = 8-(0+2) =6  0 s₃₄=c₃₄-(u₃+v₄) = 6-(-2+4) = 4  0

s₂₄=c₂₄-(u₂+v₄) = 7-(0+4) =3  0 s₃₅=c₃₅-(u₃+v₅) = 0-(-2+0) = 2  0

Поскольку все s_ij>0, то полученный план является оптимальным и единственным, который можно представить в виде матрицы

.

2) Суммарные затраты f_minпри этом будут составлять:

В пункте A₁нераспределенными остались 200 единиц продукции.

Ответ:,f_min=3150 ден.ед.

