Горяйнов / Temnov_cernovik

строго вогнута, то клиент является нерасположенным к риску, готовым заплатить страховой компании величину большую, чем среднее значение компенсированного ущерба. Именно здесь источник возникновения страховой деятельности. Если выполнено условие то возможна сделка по продаже полиса. Рассмотрим некоторые примеры функций полезности.

В случае, если функция полезности экспоненциальна

то уравнение (3.2.3.) имеет явное решение вида:

Этот случай называется экспоненциальным принципом.

Пусть функция полезности клиента имеет вид

Эта функция полезности имеет ту особенность, что величина определяемая из условия (3.2.4), не зависит от величины .

распределение. Требуется найти максимальную премию, которую клиент готов заплатить за полное возмещение ущерба.

Для нахождения искомой премии рассмотрим уравнение (3.2.4):

32

Заметим, что здесь ожидаемый ущерб равен .

Следующее семейство функций полезности – квадратичные функции

На рассматриваемом интервале для переменной функция строго вогнута и возрастает:

Несмотря на привлекательность таких функций, результаты, полученные с их помощью, часто не удовлетворяют исследователей.

Из приведенной таблицы видно, что величина премии возрастает с

ростом капитала страхователя, хотя здесь резонно сказать, что чем большей

33

суммой располагает клиент, тем с большей случайной потерей он готов смириться и тем менее интересна ему страховка.

На практике ущерб происходит с некоторой незначительной вероятностью, и в зависимости от вида застрахованного объекта существует распределение величины ущерба при условии его возникновения.

Если страховщик компенсирует не весь ущерб, а лишь k-ю часть его, то уравнение для определения максимальной при таком условии премии будет выглядеть аналогично (3.2.2):

В том же случае, когда страховая компания компенсирует не долю ущерба, а выплачивает фиксированную сумму А в случае возникновения этого ущерба, аналогом уравнения (3.2.2.) будет

и для малых значений параметра α справедливо приближенное равенство

из которого видно, что R зависит от совместного распределения X и W.

Исследуем модель Эрроу, в которой страхование рассматривается с точки зрения интересов клиента страховой фирмы. Пусть доход некоего индивидуума, в дальнейшем называемого клиентом, зависит от случайных факторов. Предполагается, что число будущих «состояний

34

природы» счетно, и -e состояние природы возникает с известной вероятностью ,

В целях «уменьшения риска» клиент заключает контракт стоимо-

стью d со страховой фирмой.

Обозначим через и , соответственно, доходы клиента до за-

ключения страхового контракта и после его заключения при «состоянии

Указанные величины связаны соотношениями

Пусть — функция полезности клиента, т. е. — полезность

дохода .

Предметом поиска являются значения выплат , максимизирующие среднее значение полезности окончательного дохода клиента при фиксированных значениях и . Иначе, фирма заинтересована в стабилиза-

ции средних выплат, а в остальном предлагает клиенту оптимальную для него форму страхования. Таким образом, максимизируется (по ) величина

Предполагается, что Оптимальное решение носит пороговый характер и имеет вид (см. [5])

35

Заметим, что это решение не зависит от и от вида .

Основные результаты.

В главе рассмотрены методы вычисления стоимости страхового

полиса, исходя из предпочтений клиента или страховой компании, т. е.

возмещение ущерба. Исходя из принципа ненулевой полезности, страховой взнос определяется как решение уравнения

где W - начальный капитал компании.

Цена одного страхового полиса d - решение уравнения

где – начальный капитал клиента.

3.3 Границы страховой надбавки, вычисленные на основе функции полезности страхователя

страхователя будет представлять собой случайную величину

36

Найти функцию полезности страхователя и интервал величины

страховой премии.

Если отношение страхователя к риску описывается функцией

полезности из представления Неймана-Моргенштерна следует, что

ожидаемая полезность его финансового состояния будет иметь вид

Допустим, что распределение потерь описывается плотностью

Графиком этой плотности является:

37

Таким образом, страхователь претерпевает малые потери гораздо чаще,

нежели более крупные.

Нетто-премия Тогда

38

для страхователя приемлемым. Следует отметить также, что в данном случает нетто-премия равна Таким образом, возникает промежуток для страховой надбавки:

Найденный интервал является величиной, которую согласится платить страхователь за частичное страхование своего капитала

39

Список использованной литературы:

[1]. Фалин Г. И. Математический анализ рисков в страховании. – М.:

Российский юридический издательский дом, 1994.

[2]. Бенинг В. Е., Ротарь В. И. Введение в математическую теорию страхования. – Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994,

т.29, в.5.

[3].Бенинг В. Е., Ротарь В. И. Одна модель оптимального поведения страховой компании. – Экономика и математические методы, 1993, т.29, в.4.

[4].Королёв В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска: Учебн. пособ. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[5].Arrow K. J. Optimal insurance and generalized deductibles. - Scandinavian Actuar. J., 1974.

[6].Шахов В. В., Миллерман А. С., Медведев В. Г. Теория и управление рисками в страховании. – М.: Финансы и статистика, 2002.

[7].Ширяев А. Н. Вероятность: Учебное пособие для вузов. – 2-е издание,

преобразованное и дополненное. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

[8].Шахов В. В., Миллерман А. С., Медведев В. Г. Теория и управление рисками в страховании. – М.: Финансы и статистика, 2002.

[9].Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969.

[10].Eric V. Slud Actuarial Mathematics and Life-Table Statistics. – Mathematics Departament University of Maryland., 2006.

40