Горяйнов / Temnov_cernovik

Обращая внимание на наличие свертки, для решения этого уравнения введем преобразования Лапласа

22

уравнение (2.4.2) для преобразований Лапласа примет вид

Отсюда можно определить преобразование Лапласа вероятности разорения:

И позволяет переписать (2.4.3) в виде

Эта формула дает явное выражение для вероятности разорения в терминах преобразования Лапласа. Для конкретного распределения

величины иска можно в явном виде определить и, значит,

Полученное явное выражение можно обратить (аналитически или численно)

Аналогичная формула верна и для безусловного среднего значения:

Поэтому относительная защитная надбавка

Подставляя эти явные выражения в общее уравнение (2.4.4) и

производя упрощения получим

Для обращения преобразования Лапласа удобно разложить правую часть этого равенства в сумму простейших дробей:

Лапласа мы получим окончательный результат:

24

Сопоставим теперь эту точную формулу для вероятности разорения с неравенством Лундберга. Прежде всего подсчитаем характеристический

Особо подчеркнем, что хотя правая часть этого равенства определена при всех , она дает только для

Поэтому уравнение (2.2.1) для характеристического коэффициента

есть:

26

3. Анализ величины страховой премии с

использованием функции полезности.

3.1 Функция полезности

До этого мы проводили расчеты на основе интересов страховой

компании. Однако страхователь не всегда готов платить указанную в договоре страхования цену.

В упрощенном понятии полезности все побуждения инвестора полностью описываются одной числовой величиной – доходом, и чем больше доход, тем больше полезность от обладания им. Таким образом,

полезность рассматривается как неубывающая функция с единственной

переменной – доходом . Примем Теоретически могут существовать три типа возрастания функции

с затухающими, неизменными и нарастающими приростами полезности u

при движении аргумента по оси дохода с одинаковым шагом r. Этим возможностям отвечают варианты графиков, изображенных на рис. 1.

Рис. 1. Три типа возрастания полезности.

При сравнении кривых просматривается разница между а), б) и в) в

смысле оценок превышения полезности от выигрыша некоторой суммы (ВА)

по сравнению с потерей той же суммы (ВО = ВА).

Так, для а) — при одинаковых выигрышах и потерях последние воспринимаются более ощутимо (GD < ВС), в случае в) — более ощутимы

27

выигрыши (GD > ВС), а у б) — оценки одинаковых приобретений и потерь равнозначны (GD = ВС).

Отсюда понятно, что экономическое поведение по типу (а), при котором человек больше боится потерять, чем желает приобрести, будет отличаться от типов (б) и (в) в пользу осторожных решений и умеренных действий. Этого почти достаточно, чтобы классифицировать кривую (а) как полезность для не склонных к риску инвесторов.

Применим рис. 1 к поведению инвесторов, выбирающих между рисковым и безрисковым вложениями. Итак, пусть (а), (б), (в) — три вкладчика и каждый из них руководствуется своей кривой полезности,

изображенной на рис. 1. Им предлагается на выбор поместить свои средства в безрисковую операцию с доходом ОВ или принять на себя риск вложения с равновероятными исходами: получить доход ОА или не получить ничего (т.е. 0). Заметим, что согласно условию ожидаемый доход альтернативы,

связанной с риском, тот же, что и для стабильного варианта:

Всоответствии с общей теорией будем считать, что каждый может сравнивать не только события, но и комбинации событий с данными вероятностями.

Внашем случае — события А и О имеют соответственно вероятности

.

То же самое предполагается для связанных с этими событиями полезностей, то есть количественно определенная (выраженная числом)

полезность понимается как объект, для которого подсчет математического

ожидания является законным.

Каждый из инвесторов сравнивает полезность (ВС) стабильного дохода

(ОВ) с математическим ожиданием полезности (т.е. ) как

функции случайного дохода и выбирает ту альтернативу, у которой значение

Проверяя это условие для каждой кривой на рис. 1, можно утверждать, что инвестор (а) остановится на безрисковом варианте

(ВС>BF), для вкладчика (б) обе альтернативы: без риска или с ним — равнозначны (ВС = BF) и ему все равно, какой из них воспользоваться.

Инвестор (в) предпочтет связанные с риском вложения с определенной ожидаемой прибылью стабильному получению этой ожидаемой суммы

(ВС < BF).

Таким образом, каждый вид кривой полезности (а, б, в) дает один из возможных вариантов модели отношения человека к риску: не расположенный к риску (а); безразличный (нейтральный) (б);

расположенный (склонный) к риску, у которого "полезность азарта"

вытесняет полезность дохода (в).

Реальный опыт, основанный, в частности, на многочисленных специальных экспериментах, убеждает, что большинство субъектов экономики (индивидуумы, фирмы, инвесторы и т. п.) в своих действиях и решениях склонны к стабильности.

В пользу такого вывода говорит, например, более высокий уровень ожидаемой эффективности рисковых вложений по сравнению с безрисковыми. При игнорирования риска вложения потекли бы к более эффективным, но менее надежным активам. В результате возросшего спроса на рисковые инвестиции их ожидаемые доходности поползли бы вниз до уровня эффективности безрисковых вложений.

На рис. 1. (а) изображена функция уклонения от риска, рис. 1 (б) –

нейтральная относительно риска функция и рис. 1 (в) – функция стремления

криску.

3.2Тарифная политика с учетом функции полезности.

Следующая модель, правда, в ситуации одного клиента, была впервые

рассмотрена Барруа в 1851г.

29

Пусть страховая фирма обладает резервным (начальным) капиталом W,

(скажем, стоимость возможного ремонта дома после стихийного бедствия).

Предположим, что клиенты однородны в том смысле, что для всех них

суммарный страховой взнос.

Ориентируясь на ожидаемую полезность, страховая фирма согласится страховать клиентов, если

Клиент пойдет на страхование только в том случае, если

Если же существует несколько конкурирующих страховых фирм, а

также при наличии государственного контроля над страхованием, выбранное

ожидаемая полезность есть вероятность неразорения. Допустим, что страховая компания «подотчетна» страхователям, т.е. единственная цель компании - осуществлять перераспределение риска. В этом случае, видимо,

30

следует задаться неким уровнем надежности α из (0, 1) (близким к единице).

Т.е. взносы , для которых , будут приемлемы для

страховой компании. Минимальное из таких (обозначим его đ) и будет окончательным страховым взносом. Страхование возможно, если

С формальной точки зрения такого рода рассуждения безупречны. Тем не менее, достаточно трудно формализовать предпочтения страховщика и совсем уж нелегко, если не невозможно, определить функций полезностей

страхователей.

Пусть — величина страхового взноса, а — случайная величина

возможного ущерба, имеющая функцию распределения Рассмотрим принцип ненулевой полезности.

определяется как решение уравнения

т. е. страховой взнос выбирается так, чтобы средняя полезность до и после страхования была одна и та же, если страховщик примет меньшую сумму, то среднее значение его функции полезности окажется меньше полезности его капитала W. Из неравенства Йенсена следует, что