Горяйнов / Temnov_cernovik

Для договоров второй группы

так что премия есть

а относительная страховая надбавка

Как можно заметить, изменение принципа назначения индивидуальных премий приводит к уменьшению относительной страховой надбавки для договоров первой группы:

Соответственно происходит увеличение относительной страховой надбавки для договоров второй группы

Это связано с тем, что коэффициент рассеяния суммарного иска есть

Итак, хотя дисперсия величины индивидуального иска для договоров второй группы меньше, чем для договоров первой группы, флуктуации индивидуальных исков для договоров второй группы (измеренные как коэффициентом рассеяния, так и коэффициентом вариации) превышают средние флуктуации по всему портфелю. Поэтому было бы оправданно принять один из принципов (1.7) или (1.11) в качестве основы для назначения индивидуальных премий.

12

2. Принципы назначения страховой надбавки

на основании вероятности разорения.

2.1. Описание динамической модели разорения.

Динамическая модель отличается от статической тем, что в ней события разворачиваются во времени. Простейшая модель такого рода включает в себя два процесса: процесс поступления премий и процесс страховых выплат. Премии поступают гораздо чаще, чем предъявляются иски, и при этом величина премии намного меньше величины иска. Поэтому,

если в качестве основного рассматривать процесс исков, то в масштабах этого процесса поступление премий можно взять за непрерывный

детерминированный процесс.

В таком случае поступление премий характеризуется одним

В качестве модели процесса поступления исков выберем пуассоновский процесс. Основные свойства такого процесса:

1.Стационарность: для любой группы из конечного числа

непересекающихся промежутков времени вероятность появления

определенного числа страховых исков на протяжении каждого из них зависит только от этих чисел и от длительности промежутков времени и не изменяется от сдвига всех отрезков времени на одну и ту же величину.

2. Ординарность выражает собой свойство практической

невозможности появления двух или более исков за малый промежуток времени

поступали иски раньше, т.е. величины, выражающие число исков,

поступивших за непересекающиеся промежутки времени, независимы.

независимыми и одинаково распределенными величинами, которые не

значение и дисперсию предъявленного иска соответственно.

Теперь изменение резервов компании можно описать следующим

уменьшатся до величины Этот процесс может продолжаться бесконечно долго, если только в

момент предъявления некоторого иска средств компании не хватит, чтобы оплатить иск. В этом случае компания разоряется. Итак, компания не разорится, если

Если же

14

Будем полагать, что

Это условие означает, что за единицу времени предъявляется в среднем исков, что приводит к выплате в виде страховых пособий в среднем суммы

. С другой стороны, за это же время компания получит в виде премий сумму

где – относительная страховая надбавка.

2.2. Характеристический коэффициент.

Основополагающую роль в анализе вероятности разорения играет

так называемый характеристический коэффициент (или коэффициент

Лундберга). Определяется как положительное решение характеристического уравнения относительно :

где а относительная защитная надбавка определяется формулой

(2.1.4), поэтому (2.2.1) можно переписать в виде:

15

Мы будем рассматривать только такие распределения величины иска,

для которых функция определена при некотором (условие Крамера). Поскольку

то

моментов и только в случае, если эти моменты действительно существуют).

Пусть теперь величина иска ограничена. Тогда

при всех

Если область определения производящей функции моментов –

Если область определения производящей функции моментов –

пересекутся и при том только в одной точке: это и будет характеристический коэффициент.

существует тогда и только тогда, когда В качестве примера определим характеристический коэффициент, если

распределение величин исков является экспоненциальным с параметром

Для экспоненциального распределения производящая функция моментов есть

17

Поэтому характеристическое уравнение (2.2.1) выглядит следующим образом:

который по определению и является характеристическим коэффициентом .

2.3. Неравенство Лундберга.

приведут к разорению. В силу (2.1.2)

По формуле полной вероятности

где

Сопоставляя эту вероятность с правой частью формулы (2.3.1), видно, что она равна Теперь уравнение (2.3.2)

примет вид:

Это уравнение можно записать и в форме

(2.3.5)

Проведенное доказательство уравнения (2.3.4) базируется на очень

функционировать заново, но с измененной величиной начального резерва,

равной Используя формулу (2.3.5), докажем по индукции, что

где – характеристический коэффициент.

19

Действительно, и поэтому для неравенство (2.3.6)

верно тривиально.

Предположим теперь, что неравенство (2.3.6) истинно для значения Тогда с помощью уравнения (2.3.5) имеем:

Теперь мы можем продолжить оценивание

На заключительном шаге наших преобразований используется тот

факт, что удовлетворяет уравнению (2.2.1).

Переходя к пределу при в неравенстве (2.3.6), получим оценку

Лундберга для вероятности разорения:

Более тонкий математический анализ показывает, что при

20

Этот результат известен как теорема Крамера-Лунберга.

Имея в виду неравенство (2.3.7) и асимптотику Крамера-Лундберга

(2.3.8), можно сказать, что вероятность разорения мала, если

характеристикой финансовой безопасности компании.

2.4 Точный расчет вероятности разорения.

Отправной точкой рассуждений будет уравнение для вероятности разорения которое можно получить переходом к пределу при в уравнении (2.3.5)

Также это уравнение можно получить повторением аргументов,

Дифференцируя по , имеем:

21