9. Сформулировать условия, при которых распределение пуассоновского импульсного процесса близко к нормальному.

-пуассоновский процесс нормальный, когда семииварианты характеристической функции начиная с m=3 малы.

10. Сформулировать теорему Кемпбелла для пуассоновского импульсного процесса.

Если импульсы имеют одинаковую высоту, то есть _i = a, на основе выражения для первого моменты и дисперсии (см. ниже)

получим:

.

Эта пара соотношений называется теоремой Кэмпбелла.

11. Дать определения непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и стационарности случайной функции.

Случайная функция называется непрерывной в среднеквадратичном смысле, если

.

Этот предел часто обозначают следующим образом:

.

Случайная функция называется непрерывной по вероятности, если ее среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию в каждый момент времени:

.

Наконец, случайная функция называется непрерывной почти наверняка, если

.

Существует сокращенное обозначение этого равенства:

.

Дифференцируемость случайной функции – существование в каком-либо смысле предела приращения функции к приращению аргумента

.

Интегрируемость случайной функции определяется как существование в каком-либо смысле предела частичных сумм

.

12. Дать определение коэффициента корреляции случайной функции.

- коэффициент корреляции.

13. Дать определение среднего по времени и записать условие Слуцкого для эргодичности случайного процесса.

- среднее по времени, которое, в свою очередь, также является случайной величиной.

- условием эргодичности Слуцкого для стационарных случайных процессов.

14. Доказать, что функция автокорреляции стационарного случайного процесса ограничена по модулю.

Представим функцию автокорреляции в показательной форме B(t₁,t₂) = |B(t₁,t₂)|exp{(t₁,t₂)} и рассмотрим при произвольном a величину

Поскольку среднее от квадрата модуля любой величины неотрицательно, а |cos( – a)|  1,

получаем

,

то есть функция автокорреляции ограничена по модулю. Очевидно, для стационарного случайного процесса |B()|  <|(t)|²> = B(0).

15. Сформулировать соотношение неопределенностей и привести минимизирующие его функции.

- соотношение неопределенностей. Доказано, что равенство в выражении реализуется только для гауссовых функции корреляции и спектральной плотности интенсивности:

, , а следовательно гауссовы кривые такого вида являются минимизирующими.

G(i) называется спек­т­ра­льной плотностью интенсивности случайного процесса. Функция автокорреляции В().

16. Дать определение белого шума и привести его функцию автокорреляции и спектральную плотность интенсивности.

Случайный процесс, спектральная плотность интенсивности которого постоянна G(j) = G₀, называется белым шумом.

- спектральная плотность интенсивности на частотах  << 1/_0.

Белый шум во всем частотном диапазоне G(j) = G₀, которому соответствует автокорреляционная функция- . По этой причине белый шум часто называют дельта-коррелированным процессом.

17. Записать спектральную плотность интенсивности процесса на выходе линейной системы, на вход которой воздействует случайный процесс.

- спектральную плотность интенсивности процесса на выходе линейной системы.

18. Сформулировать теорему о нормализации.

Выберем временной интервал  так, чтобы выполнялось условие ₁ <<  << _р и перепишем интеграл Дюамеля в виде

где , , N = _р/ >> 1. Поскольку  >> ₁, можно считать, что величины _n некоррелированы, а выходной процесс ₂(t) является суммой большого числа некоррелированных случайных величин; тогда в силу центральной предельной теоремы он является нормальным процессом. Таким образом, при прохождении через узкополосную систему любой стационарный случайный процесс нормализуется – в этом состоит суть так называемой теоремы о нормализации.

19. Записать выражение для спектра колебаний с флуктуирующей частотой и привести формулы для случаев, когда наблюдаются медленные и большие или малые и быстрые флуктуации частоты.

- медленные и большие флуктуации частоты.

-малые и быстрые флуктуации частоты.

20. Записать выражения для смещенной и несмещенной оценок автокорреляционной последовательности.

- несмещенная оценка АКП.

- смещенная оценка АКП.

21. Записать выражения для периодограмм Даньелла и Уэлча.

При усреднении выборочного спектра по соседним частотам получим периодограмму Даньелла:

.

Полный вид периодограммы Уэлча записывается как среднее значение периодограмм сегментов:

.

22. Дать определение Марковского процесса и получить уравнение Смолуховского.

Случайные процессы, функции плотности вероятности которых удовлетворяют соотношению:

называют марковскими процессами первого порядка.

Применяя выражение последовательно n раз, получим

Таким образом, для полного задания функции _n марковского процесса необходимо знать только две функции плотности вероятности – _n(t₁, x₁) и (t_n, x_n| t_n–1, x_n–1). Условная функция распределения (t_n, x_n| t_n–1, x_n–1) называется вероятностью перехода из состояния t_n–1, x_n–1 в состояние t_n, x_n.

- уравнение Смолуховского.