И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего спец. образования)

31 8.4.1. Находим главные напряжения :

=21 ( −20 +40 + ( −20 −40 )2 +4( −30 )2 ) = 52,43 МПа,

σ3 = 21( −20 +40 − ( −20 −40 )2 +4( −30 )2 ) = −32,43 МПа,

главных напряжений) против часовой стрелки и получаем направление σ1, направление σ3 перпендикулярно ему (см. рис. 8.2).

8.4.2. Находим максимальные касательные напряжения, которые будут действовать на площадках, наклонённых под углом 45º к главным

32

9.КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ

9.1.Крутящие моменты

Если нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из моментов Мк, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня, то

из шести внутренних усилий в любом сечении остаётся только крутящий момент Мкр.

Внутренний момент Мкр выражается через внешние Мк. Крутящий момент Мкр в сечении равен сумме внешних моментов Мк, расположенных по одну сторону от сечения :

Правило знаков: крутящий момент Мкр считается положительным, когда внешний момент Мк вращает отсечённую часть против часовой стрелки, если смотреть на него со стороны разреза.

9.2. Напряжения и деформации Основные допущения, принятые в теории кручения круглых валов,

выполненных из однородного, идеально упругого материала:

а) гипотеза плоских сечений – сечения плоские до кручения остаются плоскими и при кручении;

б) ось вала при кручении не искривляется; в) удлинение продольных волокон вала отсутствует;

г) радиусы поперечных сечений вала при кручении остаются прямыми, поворачиваясь на определённый угол;

д) в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения.

Таким образом, кручение можно рассматривать как чистый сдвиг, вызываемый поворотом одного сечения относительно другого. При этом в поперечных сечениях возникают касательные напряжения (см.

рис. 9.1):

стояние от исследуемой точки до оси стержня; Iк – момент инерции

сечения стержня при кручении.

Для круглого сечения Iк = πd4/32.

33

Для кольца Iк = πd4(1 – α)/32, где α = d/D.

Наибольшие касательные напряжения – у поверхности вала (см.

рис. 9.1, а, б):

где Wк – момент сопротивления при кручении.

Рис.9.1. Касательные напряжения в поперечном сечении стержня: а) для круглого сечения; б) для кольцевого сечения

Для круглого сечения Wк = πd3/16 , при этом для кольцевого сечения Wк = πD3(1 – α4)/16. Для вычисления Iк и Wк можно пользоваться приближёнными формулами, делающими ошибку в 2%: Iк= 0,1d4;

Wк= 0,2d3 – для сплошного вала, Iк= 0,1D4(1 - α4); Wк=0,2D3(1–α4) – для

полого вала.

Углы закручивания при постоянном крутящем моменте на длине l определяют по формулам:

для сплошного вала

34

9.3.Пример

Кстальному валу приложены три известных момента: М1, М2, М3 (рис.9.2). Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчёта на прочность и округлить его до ближайшего большего стандартного значения; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол

5,6X − 4,3M3 − 2,5M 2 +1,3M1 = 0,

отсюда Х = 1616 Н·м.

9.3.2. Для найденного значения Х строим эпюру Мкр. На основа-

нии метода сечений имеем, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения (формула (9.1)).

Мкр = ∑Мi(пр) = ∑Мi( лев)

Мкр1 = Х= 1616 = 1616 Н·м.

Мкр2 = Х – М3 = 1616 – 1800 = –184 Н·м.

Мкр3 = Х – М3 – М2 = 1616 – 1800 – 1200 = –1384 Н·м.

Мкр4 = Х – М3 – М2 + М1 = 1616 – 1800 – 1200 + 1300 = –84 Н·м.

35

9.3.3. По полученным значениям строим эпюру Мкр (см. рис.9.2). Условие прочности:

Принимаем по ГОСТ 6636-69 d = 56 мм = 0,056 м.

9.3.4. Строим эпюру углов закручивания. Угол закручивания на участке (формула (9.4):

ϕi = M крili ,

GIк

Находим углы закручивания характерных сечений:

αлев = αпр + ϕi ,

αI = 0,

αII =αI +ϕ1−2 = 27,21 10−3 рад,

αIII =αII +ϕ2−3 = 27,21 10−3 − 4,29 10−3 = 22,92 10−3 рад,

αIV =αIII +ϕ3−4 = 22,92 10−3 − 21,51 10−3 =1,41 10−3 рад,

αV =αIV +ϕ4−5 =1,41 10−3 −1,41 10−3 =0 .

По данным значениям строим эпюру α (см. рис. 9.2)

9.3.5. Находим наибольший относительный угол закручивания

θ = ϕ = Мкр , l GIк

следовательно, наибольший угол закручивания будет на участке, где момент будет максимальным.

I участок: Мкр = 1616 Н·м,

θmax =θ1 = 0,7721616105 = 20,93 10−3 м−1.

37

10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Прочность, жёсткость и устойчивость элементов конструкций во многом определяются формой и размерами их поперечных сечений. В расчётной практике используют так называемые геометрические характеристики сечений.

Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчётах на растяжение и сжатие. При расчётах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используют более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления.

При изложении вопросов геометрических характеристик будем использовать систему координат, показанную на рис. 10.1.

Геометрическими характеристиками данного сечения являются: площадь F, статические моменты SX, SY, радиусы инерции iX, iY, iK,

38

10.2. Статические моменты площади сечения. Центр тяжести сечения

Статическими моментами площади сечения, относительно осей Х и Y, лежащих в плоскости этой фигуры (рис.10.2), называются геометри-

Если известно положение центра тяжести ХС и YC (рис. 10.2) и его площадь F, то статические моменты определяют по формулам

Из формул (10.5) и (10.6) следует, что статический момент площади плоской фигуры (сечения) относительно любой центральной оси равен нулю. Обратное положение также справедливо: если статический момент сечения относительно какой-либо оси равен нулю, то эта ось является центральной, т.е. проходит через центр тяжести сечения С.

В зависимости от положения сечения относительно осей координат статический момент может быть положительным или равным нулю.

Из (10.5) и (10.6) могут быть определены координаты центра тяжести фигуры: