Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Downloads_1 / 2y_semestr_Lektsia_08_09

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2015

Размер:

208.17 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

Лекция 8, 9. «Элементы релятивистской механики».

Преобразования Галилея. Инвариантность уравнений механики относительно преобразований Галилея. Специальная теория относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Кинематические следствия из преобразований Лоренца. Релятивистский закон сложения скоростей. Интервал. Элементы релятивистской динамики. Взаимосвязь массы и энергии. Связь между импульсом и энергией релятивистской частицы. Основное уравнение релятивистской динамики.

Математическое отступление.

Понадобится формула разложения в ряд Тейлора для малых x

(1- x)α » 1-α x

Принцип относительности Галилея

Законы классической механики не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Время является абсолютным параметром, оно не зависит от систем отсчета, везде течет вперед с одинаковой скоростью. Может меняться только начальный момент времени.

Если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых движется равномерно прямолинейно (и поступательно) относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент в одинаковых условиях, то результат будет одинаковым. Это приводит к требованию инвариантности уравнений классической механики относительно преобразований Галилея.

При переходе от одной системы отсчета к другой радиус-векторы точек связаны соотношением

R2 = R1 + R21 ,

где R21 - вектор, задающий положение одной системы отсчета относительно другой. Проме-

жутки времени одинаковые t1 = t2 . Учитывая, что масштаб времени не меняется, получаем уравнения связи для скоростей и ускорений

v2 = v1 + v21 , a2 = a1 + a21 ,

							dv21
где v	21	=	dR21	,	a21	=		- векторы скорости и ускорения второй системы отсчет относительно

			dt				dt

первой.

Все инерциальные системы отсчета могут двигаться с разными скоростями, но их относительные ускорения нулевые, поэтому при переходе от одной инерциальной системы к другой ускорения точек не меняется. Так как векторы сил тоже не зависят от системы отсчета, то согласно принципу Галилея второй закон Ньютона в них выглядит одинаково

ma = F .

Специальная теория относительности.

СТО создана Эйнштейном в 1905 г.

Сигнал - это процесс, с помощью которого можно передать из одной точки в другую силовое воздействие. Т.е. сигнал должен передавать импульс и энергию. В СТО сигналом является световой (электромагнитный) сигнал.

Постулаты СТО 1. Принцип постоянства скорости света: скорость света не зависит от движения источника и

одинакова во всех инерциальных системах отсчета в вакууме и является предельной скоростью передачи сигнала. Величина скорости света в вакууме равна c » 3×108 м/с.

2. Принцип относительности. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, следовательно, уравнения выражающие законы природы инвариантны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Скорости точек, величина которых сравнима со скоростью света (и, конечно, обязательно меньше!) принято называть релятивистскими.

2	1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

С помощью сигнала можно производить синхронизацию часов (согласование показаний), расположенных в различных точках пространства – из одной точки в момент времени t по собственным часам отсылается сигнал во вторую точку, находящуюся на расстоянии L. Во вто-

				рой точке на собственных часах выставляется время t +	L	.
				рой точке на собственных часах выставляется время t +		.
					c
				Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К¢. Пусть
			K¢	Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К¢. Пусть
		Z¢	K¢	система К¢ поступательно движется вдоль оси Х системы К со скоро-
	K
Z	K		Y¢ v
				стью v так, что соответствующие оси обеих систем остаются парал-
	Y
	Y			лельными друг другу.
				лельными друг другу.
			X¢	Так как при малых скоростях поперечные координаты тел во

Xвсех инерциальных системах отсчета одинаковы, то это должно выполняться и при релятивистских скоростях. Действительно, если рас-

смотреть последовательность инерциальных систем отсчета, движущихся в одном направлении, значение скоростей которых возрастает на небольшую величину при переходе от одной системы к другой, то получим, что при любых попарных сравнениях всегда поперечные размеры не меняются.

	Z¢
Z	O¢
O1	O¢		O2
		X¢	v
	X		v
	X

В системе К¢ рассмотрим сигнал, пущенный вдоль оси Z¢ из точки О¢. Пусть этот сигнал отразившись от покоящегося в этой системе отсчета зеркала вернется обратно в точку О¢. Если расстояние между точкой О¢ и зеркалом равно S, то по собственным часам системы К¢

пройдет промежуток времени Dt¢ = 2S . Расстояние c

вдоль вертикальной оси в обеих системах одинаковое. Скорость светового сигнала тоже одинаковая. Так как точка О¢ движется относительно системы К, то в этой системе отсчета сигнал будет испущен в точке О1 и принят в точке О2. Поэтому по собственным часам системы К промежуток времени надо определить из равенства

Dt 2

2 S

+ v ×

Dt¢ =

- v

Dt =

. Откуда Dt =

. Поэтому

. Таким

образом, промежутки времени в обеих системах отсчёта связаны соотношением

Dt =

t′

Пусть в подвижной системе отсчета К¢ параллельно оси X¢ расположен стержень длиной L0. При движении этого стержня со скоростью V вдоль оси Х неподвижной системы К он прой-

дет неподвижные часы за время Dt0 = L . В системе К¢ эти же часы пролетят стержень за время

Dt = L0 . Так как часы движутся со скоростью V, то их показания в неподвижной системе отсче-

V
та связаны с показаниями в подвижной системе Dt =		t0		.	Откуда получаем

	1-		v2
			v2
			c2
			c2

L	=	Dt0 =	1-	v2	или
				c2
L		Dt
0

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.				3

L = L	1−	v2	.
L = L	1−		.
0		c2

Таким образом, понятие длины является относительным. Однако, уменьшение длины – это кинематический эффект, поэтому в теле не возникает никаких деформаций.

Закон преобразования координат

Так как координата –

это расстояние вдоль коорди-

O′

x′

X′

натной оси от нулевой точки, то координате x′ в

движущейся системе К′ соответствует отрезок O′x′,

длина которого x′. Поэтому в системе К ему соот-

ветствует длина

x′

1−

. В системе К координа-

′

та точки

O′ равна vt, поэтому

1− c2

x − vt

. В координатной записи справедливо равенст-

′

во

x = x

1− c2 + vt

или

x − vt

x′ =

1−

Но системы отсчета К и К′ равноправны. Поэтому можно считать, что система К движется от-

носительно К′ в противоположном направлении оси X′ со скоростью -v. Поэтому x = x′ + vt′ .

1− v2

Используя эти формулы, найдем формулы преобразования для времени

′ + vt′

− vt

′

x − vt

1− c2

+ vt

− vt 1

− c2

x′

, x′

1−

= x′ + vt′ − vt 1−

1−

= x′

+ vt′ , откуда

′

+ t

′

t =

1−

Аналогично,

t −

t′ =

1−

Окончательно формулы преобразования координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой в данном случае движения имеют вид:

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

t −

x − vt

t′ =

, x′ =

v 2

2 ,

1−

y′ = y,

z′ = z.

Таким образом, в СТО время является координатой. Т.е. положение точки задается 4-мя координатами (t , x, y, z ) . Это 4х мерное пространство называется мировым пространством.

Каждая точка мирового пространства называется мировой точкой. Траектория точки в мировом пространстве называется мировой линией. Например, если точка покоится в обычном 3х мерном пространстве, то её мировой линией является прямая, параллельная оси t.

Интервалом между двумя событиями (мировыми точками) в СТО называется величина, квадрат которой определяется соотношением

s2 = c2 (t

− t )2

− ( x − x )2

+ ( y

− y )2 + ( z

− z )2 .

Найдем квадрат интервал между двумя событиями в системе К′:

′2

= c

′

−

′

(t2

− t1 )

( x2 − x1 )

+ ( y2

− y1 )

( z2

− z1 )

− t −

( x − x )

− x − v (t

− t

)

s′

= c

−

+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )

v 2

1−

) − 1+

+ 1−

(c + v)(t

− t

( x − x

)

(c − v)(t

− t

)

( x − x

)

s′

− ( y2 − y1 )

− ( z2 − z1 )

1−

s′2 = c2 (t2 − t1 )2 −

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2

= s2

Получается, что величина интервала не зависит от системы отсчета. Как принято говорить, интервал является инвариантной величиной s′2 = inv .

При преобразованиях Галилея время абсолютно, поэтому инвариантность интервала эквивалентна сохранению расстояния между двумя точками в обычном трехмерном пространстве при переходе от одной системы отсчета к другой. Поэтому интервал в СТО является аналогом расстояния между двумя мировыми точками.

Интервал называется времениподобным, если s2 > 0 и пространственноподобным, если s2 < 0 . Для светового луча всегда s2 = 0 , что равносильно уравнению

c2 (t2 − t1 )2 − ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 = 0 ,

определяющую в обычном трехмерном пространстве расширяющуюся с течением времени сферу ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 = R2 , квадрат радиуса которой R2 = c2 (t2 − t1 )2 .

Поверхность в мировом пространстве, для которой s2 = 0 называется световым конусом. Световой конус можно задать для любой точки пространства. Если два события как две мировые точки связаны времениподобным интервалом, то одна из этих точек лежит внутри светового конуса другой точки и существует такая трехмерная система отсчета, в которой два события, соответствующие этим мировым точкам, произошли в одном месте, но в разное время.

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

И наоборот, если два события как две мировые точки связаны пространственноподобным интервалом, т.е. ни одна из этих точек не лежит внутри светового конуса другой точки, то существует такая трехмерная система отсчета, в которой эти два события произошли одновре-

менно, но в разных точках.

Если между двумя событиями можно установить причинно-следственную связь, то есть можно сказать, что одно событие является причиной другого, тогда мировые точки, соответствующие этим событиям должны быть связаны времениподобным интервалом.

Преобразование скорости.

Пусть точка движется в системе отсчета К вдоль оси Х со скоростью vx. Найдем ее ско-

рость в системе К′. Используем формулы для преобразования координат и времени

dt −

dx − vdt

dt′ =

, dx′ =

1−

v 2

1−

v 2

′

dx′

1−

(dx − vdt )

− v

vx − v

′

vx − v

dt′

v dx

−

1−

dt −

dx 1

−

Пусть точка движется в системе отсчета К вдоль оси Y со скоростью vy. Тогда ее скорость в

v 2

dy′

dy 1−

1−

′

= vy

1−

системе К′: vy

dt′

vy = vy

dt −

−

Релятивистский импульс.

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух одинаковых частиц в системе от-

счета К. При этом будем считать, что частица №1 массы m нале-

тает на покоящуюся частицу № 2 массы m со скоростью v, двига-

m v

ясь вдоль оси X. Из закона сохранения импульса вдоль оси X в

№ 1

№ 2

системе отсчета К следует

mv = Mu .

В классическом приближении M = 2m , u = v . 2

В релятивистском случае массы могут зависеть от величины скорости частиц m (v) v = M (u )u .

Перейдем теперь в систему отсчета К′, которая движется вдоль оси X со скоростью v. В этой системе частица № 1 покоится, а № 2 движется со скоростью –v. Закон сохранения им-

пульса вдоль оси X′ имеет вид

−m (v) v = −M (u )u .

Но по формуле преобразования скорости при переходе от системы К к системе К′:

−u =	u − v				. Откуда v =	2u		.
		v				u2
	1−			u		1+
			2
							2
	c					c

Рассмотрим сохранение импульса вдоль оси Y – для этого перейдем в систему отсчета К′′, которая движется против оси Y с некоторой скоростью v0. В этой системе отсчета

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

′′

′′2

- скорость налетающей частицы

, где

= v

1−

+ vy

vy = v0 , vx

- скорость покоящейся частицы равна v0,

′′

′′2

- скорость образовавшейся частицы u

, где

= u

1−

+ uy

uy = v0

, ux

Закон сохранения импульса вдоль оси Y: m (v′′) v′′y

+ m (v′′y ) v′′y

= M (u′′) u′′y .

С учетом того, что скорости всех частиц вдоль оси Y одинаковые получаем

m (v′′) + m (v′′y ) = M (u′′) .

′′

= v0

= 0

это

Это равенство выполняется при любых скоростях вдоль оси X. В частности, при vy

соотношение переходит в равенство: m (v) + m (0) = M (u ) .

Подставим его в уравнение для импульса вдоль оси X: m (v) v = M (u ) u и получим

m (v) v = m

(v) + m (0) u ,

откуда m (v) = m (0)

v − u

Выразим скорость u из равенства v =

± c

1−

2 2

1,2

vu − 2uc + c v = 0 , D = 4c − 4c v =

1−

, u

c + c

1−

Решение

1−

> 1 надо отбросить как противоречащее посту-

лату о максимальности скорости света.

− c

1−

Подстановка второго решения u =

приводит к зависимости

− c

1−

m (v) = m (0)

− c

−

v −

− c

−

m (0)

m (v) = m (0)

= m (0)

, т.е. m (v)

−

− c

1−

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

Величину массы в системе отсчета, где тело покоится, будем обозначать m0 = m (0) и называть

массой покоя. Соответственно, величину m (v) =

принято называть релятивистской

1−

m0 v

массой. Поэтому выражение для релятивистского импульса будет иметь вид

p =

= mv .

1−

В классической механике при абсолютно неупругом ударе механическая энергия не со-

храняется. Но из закона сохранения импульса следуют выражения для масс M = 2m и для ско-

ростей u = v . 2

− c

−

В релятивистском случае u =

Если предположить, что

<< 1 , т.е.

− c

−

1 v2

1 v

2 c

−

≈ 1−

, то получаем u ≈

, т.е. классическое равенство выпол-

2 c

няется только при v → 0 .

Рассмотрим подробнее полученное соотношение для масс m (v) + m (0) = M (u ) , которое

выполняется при любых скоростях. Если перейти в систему отсчета, где М покоится после уда-

ра, то в ней тела 1 и 2 будут двигаться до удара с одинаковыми скоростями u , но направлен- 2

ными навстречу друг другу. Следовательно, будет справедливо равенство

= M (0) или

= M

+ m

−

0 .

−

−1 2

1 u2

Для случая

<< 1, т.е. когда

−

≈ 1−

−

, получаем

2 4c

1 u2

≈ 2m0

2 4c

−

В системе отсчета, где составная частица покоится, обе движущиеся частицы имели суммарную


	m0	u		2		m0	u	2
										m0u	2
											2
классическую кинетическую энергию W =		2			+		2		=			, поэтому равенство
классическую кинетическую энергию W =		2			+		2		=	4		, поэтому равенство
		2					2			4
			m u2
		0
2m0 +					= M 0
2m0 +			4c2		= M 0

показывает, что масса образовавшейся частицы больше суммарной массы покоя частиц за счет наличия кинетической энергии. Если покоящемуся телу массы m0 приписать энергию покоя W0 = m0c2 ,то это равенство для масс можно трактовать как закон сохранения энергии

M 0c2 = 2m0c2 + WКИН .

8 1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

Основное уравнение релятивистской динамики.

dp =

В классической механике второй закон Ньютона имеет вид F . dt

Это выражение должно быть справедливым в любой инерциальной системе отсчёта, т.е. и в ре-

(mv) = v

лятивистской. Запишем его в виде

p =

+ m

= F .

(v, a )

1 −2

m0 (v, a )

m0 (v, a ) v

Но

= m0

−

, поэтому

+ ma

= F .

3 2

1−

−

1−

−

Отсюда видно, что вектор ускорения и вектор силы не совпадают по направлению.

1) Если вектор скорости и ускорения перпендикулярны друг другу, то ma = F 2) Если вектор скорости и ускорения параллельны друг другу, то в случае,

m av

если они сонаправлены (v, a ) v = vav = vav = av2

+ ma

= F , т.е.

−

v2 3 2

m0 v2

+ m

= F ,

+1 a

= F ,

a =

3 2

1−

c 1−

1−

Но если они направлены противоположно (v, a ) v = −vav = −vav = −av2 , то

1− 2

1−

a = F , m a

= F .

v2 3 2

−

1−

−

m (v, a )(v, v)

+ m (v, a ) = (F , v),

В общем случае для мощности силы находим, что

−

v2 3 2

(v, a )(v, v)

(v, a )

(v, a ) = (F , v) ,

= (F , v) ,

v2 3 2

−

1−

m0c

m0 (v, a )

(F , v) ,

= (F , v) , т.е.

= (F , v).

v2 3 2

−

1−

По теореме об изменении кинетической энергии должно выполняться равенство

WКИН _ 2 −WКИН _1 = A

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

Следовательно, можно принять в качестве кинетической энергии выражение

WКИН =

m c2

+ C . Значения постоянной С определим из условия равенства нулю кинетиче-

1−

ской энергии при нулевой скорости 0 = m c2

+ C , откуда C = −m c2 . Итак

m c2

− m c2 .

КИН

1−

С учетом выражения m =

, можно записать W

= (m − m )c2 .

КИН

1−

v2 −

При малых скоростях

<< 1,

= 1−

≈ 1

−

, поэтому получаем классиче-

1−

m v2

скую формулу для кинетической энергии W

≈ m c2

− m c2 =

КИН

Рассмотрим подробнее выражения (W

+ m c2 )2 =

2c4

и p2c2 =

2 v2

КИН

1−

Они связаны очевидным соотношением (W

+ m c2 )2

− p2c2 =

2c4

−

2 v2

= m 2c4 .

КИН

1−

Если ввести энергию покоя тела W = m c2

, то полная энергия тела будет определяться форму-

лой

W = W

+ W = (m − m )c2

+ m c2

= mc2

или W = mc2 =

m0c2

КИН

1−

Так как правая часть выражения W 2 − p2c2 = m 2c4

не зависит от системы отсчета, то соотноше-

ние между полной энергией и импульсом –

является инвариантом при любых преобразованиях

инерциальных систем отсчета

W 2 − p2c2

= inv .

Преобразование импульса и энергии

p = px =

m0u

Пусть в системе отсчета К импульс тела направлен вдоль оси Х:

Соот-

1−

ветственно, полная энергия тела W =

m c2

. В системе отсчета К′, которая движется вдоль

1−

′

m0u′

m0c2

, а энергия W =

оси X со скоростью v, импульс тела будет равен p

= px

u′2

1−

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.

Но скорости связаны соотношением u =

u′ + v

′

u′ + v

(u′ + v)

Тогда px

px =

, px =

(u′ + v)2

u′2

u′

vu′ 2

−

′

+ v

−

1−

u′

u′ +

m c2

1−

u′

1−

u′

′

W ′

px =

1−

m0c

u′

m0c

u′

m0c

W =

1−

(u′ + v)2

u′2

u′ + v

u′

−

1−

−

1− c2

u′

m0c2

m0u′

u′2

1−

′

W =

+ px v

1−

Теперь сравним формулы преобразования импульса, энергии и координат

′

W ′

′

+ px

1−

x′ + vt′

′

x =

+ t

1−

t =

c2 x

1−

Если установить парное соответствие – энергия (деленная на с2) + время, проекция импульса + координата, то можно увидеть, что их формулы преобразования этих пар идентичны.

Преобразование частоты.

Рассмотрим монохроматическую световую волну, распространяющуюся вдоль оси X. Фаза волны Φ = ωt − kx + α . Количество длин волн, которое пройдет между двумя точками x1 и

x2	за промежуток времени от t1	до t2	определяется как N =	ω (t2 − t1 ) − k ( x2 − x1 )	. Эта величина
				2π

не меняется при переходе к другой системе отсчета. Следовательно, не должна меняться фаза

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Downloads_1

#
24.05.2015175.71 Кб252y_semestr_Lektsia_03.pdf
#
24.05.2015211.9 Кб242y_semestr_Lektsia_04.pdf
#
24.05.2015206.89 Кб222y_semestr_Lektsia_05.pdf
#
24.05.2015169.54 Кб262y_semestr_Lektsia_06.pdf
#
24.05.2015165.89 Кб282y_semestr_Lektsia_07.pdf
#
24.05.2015208.17 Кб232y_semestr_Lektsia_08_09.pdf
#
24.05.2015101.81 Кб222y_semestr_Lektsia_10.pdf
#
24.05.2015154.09 Кб232y_semestr_Lektsia_11.pdf
#
24.05.2015152.13 Кб232y_semestr_Lektsia_12.pdf
#
24.05.2015166.34 Кб242y_semestr_Lektsia_13.pdf
#
24.05.2015146.11 Кб242y_semestr_Lektsia_14.pdf