Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Колобашкина-Част-1

.pdf

Скачиваний:

209

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

22.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

					a1								8	8
y1																	;
y1		a			a	a											;
		a			a	a				( 8) ( 5) ( 1) 14
				1	2		3
					a2								5	5
					a2								5	5
y2																			;
y2			a		a	a													;
			a		a	a					( 8) ( 5) ( 1) 14
				1	2		3
					a3								1			1
y					a3								1			1		.
y			a		a	a												.
3			a		a	a					( 8) ( 5) ( 1) 14
				1	2		3
Ответ:x*	T			1 11				2			y*	T	8		5 1						27
									,											,		.
							14		,					14 14						,		.
				14 14			14						14	14 14							14

1.7.3. Метод обратной матрицы

Данный метод позволяет находить решение игровых задач размерности n×n, содержащих только активные стратегии. Поэтому перед началом решения необходимо убедиться в отсутствии седловой точки и исключить заведомо невыгодные стратегии. Модель игры в данном случае будет идентична модели, рассмотрен-

ной в п. 1.7.2:

В1	В2	...	Вn
a	a	...	a
11	12		1n
A a21	a22	...	a2n
	...	...	...
...	...	...	...
	an2	...
an1	an2	...	ann

Определим оптимальные стратегии игроков

A1 A2

...

x T (x1,x2 ,...,xn ), y T (y1, y2 ,..., yn )

и цену игры .

Для определения оптимальной стратегии x* игрока А составим систему уравнений в предположении, что А применяет свою оптимальную смешанную стратегию, а В свои чистые стратегии, аналогично тому, как это было сделано в п. 1.7.2.

a11x1 a21x2 ... an1xn ;

a x a x ... a x ;

12 1 22 2 n2 n (1.7.8)

. . . . . . . . . . . . . . .

a1nx1 a2nx2 ... annxn .

xi 1– условие нормировки.

i 1

Запишем систему (1.7.8) в векторно-матричной форме [7]:

x TА (1)	,	(1.7.9)
1 n

где (1)1 n - вектор размерности 1 n, состоящий из одних единиц.

Умножим обе части равенства (1.7.9) справа на А-1:

x TАА-1

(1)

1 n

А-1.

Откуда следует:

x T

(1)

1 n

А-1.

Введем в рассмотрение новый вектор вида:

~ T

x T

-1

(1)1 n А

Поскольку xi

i 1

(1.7.10)

i 1

С помощью соотношения (1.7.10) определяем цену игры :

(1.7.11)

i 1

Тогда вектор оптимальной стратегии x T стороны А будет:

~ T

i 1,...,n.

(1.7.12)

i 1

Далее определяем оптимальную стратегию y* игрока В. Для этого составим соответствующую систему уравнений:

	а11y1 а12 y2				... а1n yn		ν ;
			a22 y2		... a2n yn		ν ;
	a21y1		a22 y2		... a2n yn		ν ;		(1.7.13)
									(1.7.13)
	. . . . . . . . . . . . .
	a	y a		y	... a	y	ν.
	n1	1	n2	2	nn	n
	n
	yi		1 условие нормировки.
	i 1
Запишем систему (1.7.13) в векторно-матричной форме:
			Аy		(1)n 1		,		(1.7.14)
где (1)n 1 – вектор	размерности n 1, состоящий из одних единиц.
Умножим обе части уравнения (1.7.14) слева на А-1:
откуда получим		А-1Аy А-1 (1)n 1						,
откуда получим

y А-1 (1)n 1.

Введем в рассмотрение вектор вида:

А-1

(1)n 1.

(1.7.15)

Из соотношения (1.7.15) имеем:

(1.7.16)

j 1

поскольку yi

i 1

Из условий (1.7.15) – (1.7.16) определяем вектор оптимальной стратегии y T стороны В:

	T	~ T	~ T
	T	~ T	y
y		y		,	i 1,...,n,	(1.7.17)
y		y	n	,	i 1,...,n,	(1.7.17)
			~
			yj

атакже значение цены игры, которое, естественно, должно совпасть со значением, рассчитанным по формуле (1.7.11):

																1				.					(1.7.18)
															n					.					(1.7.18)
															n
																y j
															j	1
			1.15.																			,					:
														1		3	4
														2		2	1 .
														2		1	6
			.														-1.
											:
	det(A)		1	2	1				3	2	1			4	2		2				1 11 3 10			4 (	2)		27
				2	1					2	1				2		2
				1	6					2	6				2		1
				1	6					2	6				2		1
																	:
							2		1				2	1				2			2
							2		1				2	1				2			2
							1		6				2	6				2			1	11		10	2
								3	4			1		4					1		3

		adj(	)																			14		2	5 .
		adj(	)					1	6			2		6					2		1	14		2	5 .
								1	6			2		6					2		1	5		7	4
						3			4			1		4				1			3


						2			1			2		1				2			2
																						11		14	5

			adj( )								11			14			5					27		27	27
		-1	adj( )						1		10			2			7						10	2		7	.
			det(A)						27		10			2			7					27		27	27		.
			det(A)						27		2			5			4					27		27	27
											2			5			4					2		5	4

																						27		27	27
														11			14					5

														27			27					27
~	T		-1											10			2					7		1	11		2
x		(1)1 n			1				1		1																	.
x		(1)1 n			1				1		1			27			27					27		27	27		27	.
														2			5					4

														27			27					27
														54

(1.7.12),

(x1, x2, x3) , :

				x T		1		11	2		.

					14			14	14
					14			14	14
												(1.7.11):
				1	1			11		2	1	27
				1	1			11		2		27	.
				n	27			27	27			14	.
				n
				xi
				xi
				i 1
			(1.7.15)		~
			(1.7.15)				y * :
				11	14				5			8

				27	27				27		1	27
				10	2				7		1	5
y	-1	(1)		10	2				7		1	5		.
	-1
			n 1	27	27				27			27
			n 1
											1
				2	5				4		1	1
				2	5				4			1

				27	27				27			27

(1.7.17), ( y1 , y2 , y3 ) , :

			y *T		8		5		1	.
			y *T	14		14		14		.
				14		14		14
. x *T		1 11 2				, y *T		8			5	1	,	27	.
														14
	14		14	14				14			14	14
	14		14	14				14			14	14

		!	n n .
	2	1	1
1.	2	2	0 .
	0	1	2

: x *T		6		1 10		; y *	9	2		6	;		14	.

	17		17		17		17	17	17			17
	17		17		17		17	17	17			17
						55

	4		3	1
2. А			1
2. А	4		1	2 .
			3
	2		3	3
Ответ: x*		T	1	1	13	;	y*	Т	4		1		4	;	23	.

				9	18					9	9	9			9
			6	9	18					9	9	9			9

1.8. Методы решения матричных игр m×n

1.8.1.Решение игр размерности m×n методами линейного программирования

Решение любой матричной игры m n сводится к задаче линейного программированиях [1, 5].

Рассмотрим игру m n с m стратегиями А1, А2,…,Аm игрока А и

n стратегиями В1, В2,…,Вn		игрока В,				которая задается матрицей
		В1	В2 ...			Вn
	a11		a12 ...			a1n			A1
A	a	21	a	22	...	a			A
							2n		2
	... ... ...					...		...
			am2 ...						Am
	am1					amn

Требуется найти решение игры, т.е. оптимальные смешанные

стратегии игроков А и В x Т (x ,...,x	m	),	y Т (y ,..., y ) и цену
1	m		1	n

игры .

Сначала найдем оптимальную стратегию (x1,...,xm ) игрока А. Эта стратегия должна обеспечить выигрыш, не меньший цены игры, при любом поведении второго игрока и выигрыш, равный цене игры, при его оптимальном поведении. Цена игры нам неизвестна, поэтому зададим ее в виде некоторого положительного числа . Для того чтобы выполнялось условие > 0 достаточно, чтобы все элементы матрицы были неотрицательные. Этого всегда можно добиться, если воспользоваться аффинным правилом, определяющим допустимые преобразования матрицы игры и её цену.