Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планирование 2011

ства, ограничивающего пучок, определяется расстоянием максимального приближения ε луча, соединяющего виртуальный источник с ТИ, к краю устройства (рис. 8.28).

Спроектированное расстояние pde до края устройства равно

где pde является положительным в открытой области устройства и отрицательным в блокированной области. Апертурный трансмиссионный фактор PTFk, который характеризует влияние k-го ограничивающего устройства на широкий пучок, обусловленное рассеянием вдоль расстояния pdek , находится из формулы:

где erf – стандартная функция ошибок; ζtot – полное стандартное отклонение гауссовского распределения профиля ТЛ от источника

кТИ.

Если на линии пучка расположено одно ограничивающее пучок

Если таких устройств несколько, то можно применить принцип мультипликативности, в соответствии с которым внеосевое отношение равно

k 1

где Nbld – число устройств, ограничивающих пучок.

8.Аналитический расчет дозы от протонов

сучетом негомогенностей

Метод аналитического расчета дозы от протонных пучков в негомогенной среде, основанный на алгоритме свертки ТЛ, разработанном Д. Дези [39], предложен в работе [40]. Рассмотрим основные особенности этого метода.

Авторы назвали свой метод аналитической суперпозицией бесконечно узких пучков протонов (сокращенно англ. ASPB), т.е., фак-

71

тически, тонких лучей. В основе обеих работ [39,40] лежит теория многократного рассеяния заряженных частиц Г. Мольера [41].

Пусть имеется элементарный тонкий пучок, состоящий из моноэнергетических, параллельных и однородно распределенных по бесконечно малой площади dxdy частиц, движущихся в направлении оси z. Выберем правую систему координат с началом в точке входа протонов в среду, оси x и y в плоскости перпендикулярной к оси пучка.

Центральная величина в теории Мольера – характеристический угол χс распределения однократного рассеяния. Мольер в своей теории не делает никаких предположений о гомогенности среды. Дези [39] высказывает идею о возможности учета негомогенностей в виде слоев с помощью допущения зависимости плотности среды от z. Идя по этому пути, характеристический угол χс в гетерогенной слоистой геометрии среды можно определить по следующей формуле:

ρ(z) – плотность среды, независящая от координат x и y; NA – число Авогадро; re – классический радиус электрона; η – кинетическая энергия частицы в единицах массы покоя протона; m/M – отношение масс покоя электрона и протона; Zj, Aj – атомный номер и вес j-й компоненты материала.

Введем теперь характеристический угол многократного кулоновского рассеяния ζМ, равный

где B – масштабный параметр, интерпретируемый как мера эффективного числа столкновений от глубины 0 до z и рассчитываемый по формуле

72

Угол χa, который вводится для учета эффекта экранирования ядра атомными электронами, определяется из выражения

где α – постоянная тонкой структуры; β – скорость протона, деленная на скорость света; kHF и uj – поправочные коэффициенты [39].

При расчете ―срез за срезом‖ вдоль оси z интегралов (8.79) и (8.83) удобнее работать с проекциями углового распределения на плоскость, нормальную к оси пучка. В силу того, что распределение Мольера справедливо для небольших углов рассеяния, пространственные отклонения вдоль осей x и y имеют такие же распределения, как углы рассеяния Мольера, спроектированные на плоскости x-z и y-z. Так как рассеяние одинаково для x и y, то оба пространственных распределения имеют одинаковый параметр ширины.

В аппроксимации Хэнсона [42] в распределении Мольера, представляющего разложение в ряд, оставляется только первый гауссовский член. При этом, однако, характеристический угол ζM заменяется на немного меньший характеристический угол ζH. Рассеяния по направлениям осей x и y являются независимыми с одинаковой характеристической шириной z·ζH. Таким образом, распределение пространственного отклонения на плоскости, перпендикулярной к оси пучка, описывается в форме гауссиана

73

в который теперь введена поправка на большие углы рассеяния за счет замены ζM на ζH, равная

Текущая энергия протонов, необходимая для определения η(z) в уравнении (8.80) на i-м шаге интегрирования, рассчитывается в приближении непрерывного замедления по формуле

где S(m) – тормозная способность протонов после шага интегрирования z(m) на глубине z(m) в материале (m); Ei – перед шагом интегрирования.

В принципе плотность среды может зависеть и от координат x и y, однако этот случай не покрывается уравнениями (8.80) – (8.87). В методе ASPB не рассматриваются также все устройства линии пучка. Расчет ζH начинается с момента падения протонов на пациента (или фантом). Тем не менее учет выше лежащих по пучку устройств можно выполнить способом, примененном в работе [36] (см. предыдущий раздел), т.е. суммируя квадраты геометрических вкладов от каждого устройства.

Рассмотрим теперь параллельный пучок протонов с энергией E с прямоугольным сечением, нормально падающий на плоскую границу среды. Ось z направим параллельно направлению распространения пучка, и начало координат выберем на границе облучаемой среды. Пусть распределение флюенса падающих на среду протонов имеет гауссовское распределение, не обязательно симметричное по полю облучения, в виде

где (x0, y0) – точка пересечения центральной гауссовской оси с плоскостью z = 0; ζx и ζy – стандартные отклонения по направлениям x и y, определяемые устройствами, находящимися на линии пучка.

Аппроксимируем падающий пучок множеством ТЛ. При прохождении протонов через среду доза в произвольной точке

74

(x , y , z ) создается суперпозицией вкладов от отдельных ТЛ, обусловленных рассеянными протонами, имеющими распределение Мольера (x x , y y , z; E). Расчет этой дозы производится с

помощью свертки в поперечном направлении, которая выполняется по площади поля на входе пучка в облучаемую среду:

D(x, y, z) D (0,0, z; E) dx dy (x , y ) (x x , y y , z; E) ,

(8.89)

где D (0,0, z; E) – центрально-осевое дозовое распределение для

достаточно широкого пучка протонов с энергией E (чтобы существовало поперечное равновесие рассеянного излучения), нормированное на единичный флюенс. Оно определяется экспериментально или рассчитывается (см. раздел 7 настоящей главы).

Для интеграла (8.89), несмотря на его простой вид, трудно найти аналитическое решение по причине возможной поперечной неоднородности у плотности среды. Однако если предположить слоистую геометрию негомогенной среды (плотность зависит только от координаты z), то можно использовать уравнения (8.80) – (8.86). В

u x, y

В уравнениях (8.91) и (8.92) lu и Lu (lu < Lu) являются x и y координатами углов прямоугольного поля на поверхности среды.

В клинической ситуации облучаемый объем совсем не обязательно организован в виде слоистой геометрии, и тогда описанный выше алгоритм не может, строго говоря, применяться. В этом случае возможно использовать методику разделения поля пучка на отдельные небольшие непрерывные участки. Они должны выбирать-

75

ся так, чтобы примыкающие к этим участкам парциальные объемы среды можно было аппроксимировать последовательностью гомогенных слоев, состоящих из одного материала. Тогда полная доза в произвольной точке (x,y,z) находится через суммирование вкладов

от парциальных пучков, рассчитываемых по формуле (8.90). Этот подход, как указывается, например, в работах [42,43], является хо-

рошей аппроксимацией для небольших глубин и негомогенностей с большим поперечным сечением.

10. Аналитическая модель Улмера

В. Улмер в работе [44] разработал новый более строгий подход к решению задачи распространения протонов в различных средах, позволивший получить аналитические выражения для расчета с высокой точностью ряда важных характеристик протонных пучков. Рассмотрим кратко основные результаты этой работы.

10.1. Интегрирование уравнений Ланджевина и Бете – Блоха

В большинстве работ, посвященных разработке методов расчета дозовых распределений от пучков протонов, используется феноменологическое правило Брэгга–Клемана для связи между пробегом протонов и их начальной энергией (8.32). Это соотношение получено в приближении непрерывного замедления протонов и имеет вид

где α и p – эмпирические коэффициенты, значения которых зависят от материала среды и подбираются подгонкой под экспериментальные данные.

В. Улмер в работе [44] показал, что правило Брэгга–Клемана, а также E(z) и dE(z)/dz можно получить, интегрируя нерелятивистское уравнение Ланджевина (классическое уравнение движения с потерей энергии из-за трения). Релятивистское расширение обобщенного уравнения Ланджевина приводит к следующей формуле:

76

где A – постоянная, значение которой для воды находится из условия, что при E0 0 формулы (8.93) и (8.94) должны давать одина-

ковые значения. Отсюда получилось [44], что A = 0,00259 см/(МэВ)p.

Учитывая, что первоначальная энергия протонов в лучевой терапии E0 2Mc2 , релятивистский вклад можно рассматривать как

поправочные члены.

В результате интегрирования уравнения Ланджевина В. Улмером [44] найдены также формулы для E(z) и dE/dz:

E(z) Mc2 Mc2 1 2(RCSDA z)1/ p /(Mc2 A1/ p , (8.95)

Однако прежде чем применять формулу (8.96) для дозиметрического планирования в ней необходимо учесть флуктуации потерь энергии.

Другой подход, примененный В. Улмером, с целью вывода аналитических выражений для RCSDA, E(z) и dE/dz заключался в интегрировании уравнения Бете–Блоха (8.9). В результате им были получены следующие формулы для RCSDA:

Для терапевтических протонов (E0 < 300 МэВ) в формуле (8.97) достаточно взять N = 4, а в формуле (8.98) можно ограничить сум-

мирование двумя членами. Для воды в работе [44] значение EI взято равным EI = 75,1 эВ и Z/AN = 10/18. В результате формула (8.97)

для воды приобрела вид

n 1

Значения параметров, входящих в формулы (8.97) – (8.99) приводятся в табл. 8.5 и 8.6, для этих значений параметров обе форму-

77

лы дают практически одинаковые результаты, совпадающие с данными МКРЕ [26] со средним стандартным отклонением 0,27 %.

Таблица 8.5

Значения параметров, входящих в формулы (8.97) и (8.99) с E0 в МэВ,

EI в электронвольтах и RCSDA в сантиметрах [44]

Таблица 8.6

Значения параметров, входящих в формулу (8.98): размерность b1 и b2: безразмерные, g1 и g2: МэВ-1 (a1, E0 и RCSDA см. табл. 2.6) [44]

Обратные преобразования формулы (8.98) позволяют выразить E0 и E(z) через значения RCSDA [44]:

i 1

Врассматриваемом диапазоне энергий высокая точность расчетов по формулам (8.100) и (8.101) достигается при N = 5. Значения параметров приводятся в табл. 8.7.

Таблица 8.7

Значения параметров, входящих в формулы (8.100) и (8.101) при N = 5 (размерность ck: см/МэВ, λk: см-1) [44]

78

ражений, полученных без учета флуктуаций, с обобщенным гауссовским ядром в релятивистской и нерелятивистской областях, а также включает в анализ учет распределения Ландау–Вавилова.

Если передаваемая в среду энергия протонов рассчитывается из уравнения Бете–Блоха ((8.101) и (8.102)) или на основе феноменологических выражений ((8.95) и (8.96)), то учет флуктуаций для дозового распределения D(z) производится в работе [44] по схеме

квантово-статистического подхода.

В результате преобразований в работе [44] получены следующие результаты:

а). Распределение флюенса первичных моноэнергетических протонов с учетом ядерных взаимодествий:

Энергия Eth = 7 МэВ соответствует порогу ядерных взаимодействий для протонов. Результаты расчета по формуле (8.106) для протонов разных энергий показаны на рис. 8.30.

б). Распределение флюенса вторичных протонов, которые образуются вдоль трека первичных протонов:

в). Распределение флюенса частиц отдачи:

80