Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планирование 2011

δ-электронов с кинетической энергией Te > Temin для материала с плотностью электронов ne рассчитывается из формулы:

выше которой электрон рассматривается как δ-электрон. Сечение равняется нулю при Temax Temin .

Используя формулу (8.7), можно аналитически определить полное макроскопическое сечение

Полные потери энергии протоном при прохождении пути dz в веществе с плотностью ρ и атомным весом А в результате взаимодействия с электронами описываются формулой Бете – Блоха

(ФББ):

где EI – средний ионизационный потенциал атома/молекулы; Z – атомный зарядовый номер; v – скорость протона; k = 8∙π∙q2∙e4; e –

заряд электрона; q – заряд протона; aBarcas – поправка Баркаса (поправка на эффект плотности); ashell – поправка на эффект связи

электрона на оболочке.

3.2.2. Упругое взаимодействие с ядрами

Электромагнитное упругое взаимодействие с ядрами атомов служит основной причиной рассеяния протонов. В результате актов рассеяния протоны отклоняются от направления первоначального движения. Угловое распределение таких частиц описывается известной формулой Резерфорда для дифференциального сечения упругого рассеяния:

21

(8.10)

где mnuc и Znuc – масса и заряд ядра соответственно; Zp – заряд протона; ε – параметр экранирования; ζs – угол рассеяния протона.

Как видно из формулы (8.10) рассеяние протонов происходит в подавляющем большинстве случаев на малые углы. Рассеяние на большие углы, соответствующие малому прицельному расстоянию, является редким событием. Так как большая часть рассеяний происходит на небольшие углы, то для отклонения протона от первоначального направления на заметный угол требуется большое число взаимодействий. Общая теория, описывающая многократное рассеяние, известна как теория Мольера. Распределение Мольера включает несколько членов, первый из которых имеет форму гауссиана. На практике при расчетах часто ограничиваются учетом только первого члена. Это приводит к приближению малых углов и гауссовскому распределению с шириной, которая согласно Росси и Грейзену после прохождения слоя dz в материале с радиационной длиной X0 равняется

где p – протонный момент; LR – радиационная длина материала; Es

– постоянный параметр, не зависящий от энергии протона и состава материала. Его значение определяют подгонкой под результаты точных расчетов.

На практике большее распространение получило выражение для среднего угла многократного рассеяния в тонком слое, известное как формула Хафленда [7]:

где Z – атомный номер материала; L – толщина материала.

Для оценки радиационной длины материала в работе [7] рекомендуется формула:

22

где N – число Авогадро, Z и A – атомный номер и атомный вес материала соответственно.

На рис. 8.4 показана расчетная зависимость (формула (8.12)) среднего угла многократного рассеяния от радиационной длины при прохождении протонов через тонкий слой, выполненный из различных материалов. Приведенные данные показывают, что наименьшее отклонение от направления первоначального движения наблюдается для бериллия, а максимальное для свинца. Этот вывод важен для выбора материалов для формирования пучка. Материалы с высоким Z используются, когда нужно получить максимальное рассеяние пучка при минимальной потери энергии, и наоборот, когда требуется уменьшить энергию протонов в пучке при минимальном рассеянии, следует применять материалы с низким Z.

Рис. 8.4. Средние потери энергии и средний угол многократного рассеяния при прохождении протонов с энергией 160 МэВ через слой толщиной 1,0 г/см2, выполненный из различных материалов

23

ми, при выборе Temin достаточно малым расчет дозового рас-

пределения методом Монте-Карло будет корректным без необходимости учитывать флуктуации энергии. Однако такое решение приведет к большому увеличению времени расчета из-за громадного количества образующихся δ-электронов. Да-

же если энергию этих электронов считать поглощающейся локально, расчетное время остается неприемлемо большим. Поэтому в некоторых программах (например [5]) применяется подпороговое распределение флуктуаций], описанное в работе [8]. В соответствии с этим подходом флуктуационная функция моделируется гаус-

сианом со средним значением E и дисперсией

где z – геометрический шаг при моделировании траекторий. Похожий подход к учету флуктуации пробега протонов, обу-

словленными флуктуациями в потерях энергии, применен в работе [9]. Авторы [9] в приближении теории Ферми – Эйджа решали задачу о пространственном распределении протонов от источника в виде тонкого луча (ТЛ). Они предложили аппроксимировать уменьшение флюенса первичных частиц путем умножения среднего квадрата радиального расширения ТЛ на каждой глубине из-за рассеяния на корректирующий фактор С(z):

где 2 (R0 ) –дисперсия полной длины пробега для частиц с энергией E0 и пробегом R0;

S/ρ – массовая тормозная способность протонов.

3.3. Ядерные взаимодействия

Вероятность ядерных реакций составляет ~5 % от вероятности ионизационных взаимодействий для 50 МэВ протонов при

25

Temin =0,1 МэВ. С увеличением энергии это соотношение уменьша-

ется, например, для 200 МэВ протонов она меньше 1 %. Поэтому иногда ядерные взаимодействия рассматриваются как поправка к электромагнитным процессам.

Согласно публикации МКРЕ 46 [10] мягкая ткань состоит, в основном, из водорода, углерода, азота и кислорода. В публикации МКРЕ 63 микроскопические сечения взаимодействия протонов для этих элементов, нормированные на атомную массу, имеют примерно одинаковую величину. Поэтому в расчетах часто предполагают, что с точки зрения ядерных реакций протонов вода ведет себя подобно мягкой ткани. Такая замена не совсем справедлива для скелета человека, содержащего 5 – 20 % кальция, так как для кальция величина нормализованных сечений ядерных реакций примерно на 25 % меньше, чем для кислорода. Однако такая разница мало сказывается на дозовых распределениях в протонной терапии, поэтому далее анализируются ядерные взаимодействия протонов только с элементами воды.

3.3.1. Ядерные упругие взаимодействия протон-протон

Макроскопическое поперечное сечение протонпротонного столкновения в воде, нормализованное на плотность ρ, определяется из микроскопического сечения ζpp(Tp) по формуле:

где NA – число Авогадро; wH – весовая доля водорода в воде; AH – атомный вес водорода. Значения ζpp(Tp) приводятся в ряде работ, например в [12]. Хорошая аналитическая аппроксимация этих данных в диапазоне энергий 10 – 300 МэВ предлагается в работе [5]:

где Tp – энергия протона (МэВ).

Угловое распределение протонов после столкновения можно также оценить, используя работу [12]. Однако в системе центра инерции данное распределение является почти изотропным. По кинематическим причинам это приводит к однородному распределению энергии протонов в лабораторной системе координат.

26

3.3.2. Ядерные упругие взаимодействия протон-кислород

Полное макроскопическое сечение упругого столкновения протона с ядром кислорода определяется аналогично выражению

(8.17):

где w0 – весовая доля кислорода в воде. Значения σel(Tp) приводятся в публикации МКРЕ 63 [11]. Аналитическая аппроксимация этих данных в диапазоне энергий 50 – 250 МэВ предлагается в работе

[5]:

где Tp – энергия протона (МэВ).

Максимальная энергия, передаваемая ядру отдачи, определяется по формуле (8.6) с заменой в ней me на mO. Средняя кинетическая энергия ядер кислорода в зависимости от энергии протона табулирована в работе [11]. Аналитическая аппроксимация, предлагаемая в работе [5] имеет вид:

TΟ = 0,65exp(−0,0013 Tp ) −0,71exp(−0,0177 Tp ). (8.21)

Распределение ядер кислорода по энергии TO после упругого столкновения с протоном имеются в работе [12]. Эти данные аппроксимируются в работе [5] следующей формулой:

Пробег ядер отдачи кислорода в воде очень мал, поэтому считается, что энергия, переданная этому ядру, поглощается локально. Направление движения протона после такого столкновения изменяется в соответствии с переданной энергией.

3.3.3. Ядерные неупругие взаимодействия протон-кислород

При неупругих столкновениях протонов с ядром кислорода в рассматриваемой области энергий возможны следующие реакции:

27

p O168 p p N157 ,

p O168 n F916 .

Полное макроскопическое поперечное сечение неупругого

взаимодействия определяется из микроскопического сечения аналогично (8.17):

где значения ζin(Tp) можно взять из работы [12]. Аппроксимация этих данных в диапазоне энергий 7 – 250 МэВ, предложенная в работе [5], имеет вид:

(8.25)

Кроме вторичных протонов и нейтронов в этих взаимодействиях могут рождаться также дейтроны, тритоны, альфа-частицы, тяжелые фрагменты, фотоны, электроны и т.д. Полный учет всех кана-

лов реакции проводится в таких сложных программах ядерной физики, как GEANT4 [13], MCNPX [14] и др. Однако такое детальное

рассмотрение вряд ли нужно в области протонной терапии. Согласно данным работ [12, 15] приблизительно 50 % энергии первичного протона при неупругом столкновении передается вторичному протону. Значительная доля энергии переходит к нейтронам, дейтронам, альфа-частицам и тяжелым ядерным фрагментам. Но только нейтроны распространяются на большие расстояния. Остальные частицы поглощаются практически локально. На рис. 8.6 показаны вклады в дозу, которые создаются разными каналами реакций при первичном взаимодействии 150 МэВ протонов в воде [5]. Например, кривая, обозначенная как ―нейтроны‖, представляет вклад в дозу от всех частиц, создаваемых нейтронами, которые образовались при неупругих ядерных реакциях первичного протона с ядрами кислорода.

28

3.4. Массовая тормозная способность

Полная массовая тормозная способность протонов представляет собой сумму электронной тормозной способности (см. приложение) и ядерной тормозной способности. При кинетической энергии выше 1 МэВ ядерная тормозная способность пренебрежимо мала, т.е. протоны замедляются благодаря, в основном, неупругому взаимодействию с атомными электронами.

Для ткани человека можно выразить тормозную способность материала с плотностью ρ через функцию от массовой тормозной способности для воды Sw(Tp)/ρw:

Рис. 8.6. Вклад в дозу от каналов разных реакций для 150 МэВ протонов в воде [5]

29

На основе анализа данных работ [8,10] и результатов расчета по программе PSTAR в работе [5] предложена следующая аппроксимация для этой функции:

Рис. 8.7. Отношения массовых тормозных способностей протонов с энергией 10 и 100 МэВ для разных материалов к массовой тормозной способности воды, рассчитанные из данных работы [10] и вычисленные по формуле (8.27)

На рис. 8.7 показано сравнение исходных данных и результатов аппроксимации выражением (8.27). В большинстве случаев расхождение меньше 1 % за исключение желчного и мочевого камней,

30