Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планирование 2011

бег-энергия (8.36) можно линеаризировать вокруг E E0 . Тогда

распределение Гаусса по энергии трансформируется в распределение Гаусса по пробегам с дисперсией:

Следовательно, если энергетический спектр имеет гауссовское распределение, то это можно учесть простым увеличением ζ в уравне-

нии (8.48).

Рассмотрение хвоста энергетического спектра является более сложной задачей, так как его форма зависит от многих факторов. Однако и здесь допустимы существенные упрощения, если принять во внимание, что вклад в дозу от хвоста протонов невелик. Автор

Для вычисления глубинного дозового распределения следует

димо свернуть с глубинным дозовым распределением для моноэнергетических протонов. Проводя эту операцию для Dtail, ввиду

51

Заметим, что формула (8.52) имеет вид аналогичный виду второго члена в уравнении (8.43). Это дает основание учесть флуктуа-

ции для Dtail так же, как это сделано в разделе 7.2. Добавление результата в уравнение (8.46) дает следующую формулу:

Таблица 8.3

Значения констант и параметров, используемые в теоретической модели (8.53). Все значения приводятся для протонов в воде. Последние два параметра зависят от ускорителя и линии пучка. Величина σ рассчитывается из σmono

и σE,0 по формуле (8.49)

С первого взгляда формула (8.53) выглядит достаточно громоздкой. Константы, входящие в ее состав, приводятся в табл. 8.3.

Однако для δ > 10 (т.е. z R0 10 ) D(z) совпадает с D(z) с погрешностью 0,5 % (см рис. 8.19). В то же время для δ < -5 (т.е. z R0 5 ) D(z) пренебрежимо мала. Поэтому можно D(z) аппроксимировать следующим выражением:

52

Для распространения протонов в воде окончательные формулы, полученные с использованием табл. 8.3, и учитывая, что для воды(1/ p) = 1,575, получают следующий вид:

Корректность разработанного метода была опробована автором [23] путем сравнения с экспериментальными данными и численными расчетами. Так как спектр пучков протонов, вообще говоря, точно не известен, то параметры ζ, ε и R0 варьировались для получения наилучшего согласия. Обычно оказывалось достаточно нескольких итераций. Сравнение результатов расчетов по данной методике с экспериментом и численными данными иллюстрируется табл. 8.4 и рис. 8.20.

Таблица 8.4

Параметры для уравнения (8.56), дающие наилучшее совпадение с опубликованными экспериментальными данными [20,32], и максимальные расхождения между экспериментом и расчетом

Расхождение с экспериментальными данными, представленные в табл. 8.4, даются в процентах для района плато и в сантиметрах

53

для пика Брэгга. Автор аналитической модели [23] провел сравнение своих результатов также с экспериментальными данными HCI и работы [33]. Совпадение между результатами оказалось еще лучше, чем показано в табл. 8.4. Аналогичные результаты получены и при сравнении аналитической модели с данными численных расчетов (рис. 8.20).

Рис. 8.20. Сравнение результатов расчета по аналитической модели с численными данными, полученными по численным алгоритмам TRIUMF [33] и PSI [34]

8. Метод тонкого луча

Метод тонкого луча в своей классической постановке (см. часть 1 настоящего пособия) оказался весьма подходящим для дозиметрических расчетов и в протонной терапии. В настоящее время во

54

многих центрах используются системы планирования, основанные на использовании этого алгоритма. Одной из первых публикаций, посвященных применению метода тонкого луча (ТЛ) для расчета дозовых распределений от протонов, была работа П. Петти [35]. Однако в этой работе не учитывалась модификация пучка протонов в материалах и устройствах, находящихся в пучке до падения про-

тонов на облучаемый объект. В более поздней работе Л. Хонг с

коллегами [36] усовершенствовали алгоритм ТЛ для учета устройств, расположенных на линии пучка и модифицирующих пучок (см. рис. 8.15) после его расширения в системе фольг. Рассмотрим метод ТЛ в варианте, разработанном в этой работе [36], начав с линии пучка.

8.1. Расчет модифицирующих устройств линии пучка

8.1.1. Геометрия линии пучка и входные данные

Геометрия линии пучка, принятая в работе [36] (рис. 8.21) достаточно традиционна и моделирует систему Циклотронной Лаборатории Гарварда.

Рис. 8.21. Геометрия линии пучка, принятая в работе [36]

55

Устройства, модифицирующие пучок, делятся на два вида: устройства, ограничивающие поперечные размеры пучка и устройства, не ограничивающие пучок. К первым относятся коллиматоры, апертуры (диафрагмы), блоки. Они считаются ―идеальными‖, т.е. они не влияют на открытую часть пучка и полностью поглощают частицы, падающие на них. Вторые поглощают часть энергии и

рассеивают протоны. Рассеяние увеличивает поперечные размеры и полутень пучка (англ. penumbra) и может влиять на дозовое рас-

пределение внутри пациента и на конце пробега.

Термин ―открытый пучок‖ относится к пучку протонов, свободному от всех модифицирующих устройств за исключением тех, которые постоянно находятся в пучке. Это включает систему расширения пучка, мониторные ионизационные камеры и систему крепления коллиматоров. Открытый пучок не включает также модулятор пробегов и, следовательно, имеет так называемый ―чистый‖(близкий к моноэнергетическому) пик Брэгга, а не ППД.

В алгоритме работы [36] открытый пучок моделируется виртуальным эффективным источником с конечным поперечным сечением, локализованным в некоторой эффективной точке пространства. Расстояние от эффективного источника до изоцентра принимается как расстояние источник-ось (РИО). Размеры эффективного источника параметризуются двумерным распределением Гаусса, стандартное отклонение которого является эффективным радиусом источника. РИО определяется из экспериментальных измерений распределения дозы в воздухе, предполагая, что оно подчиняется закону обратных квадратов. Эффективный размер источника определяется с помощью измерения полутени открытого пучка в воздухе с блоком, размещенным на оси пучка. Алгоритм требует также знания из эксперимента или расчета (см. предыдущий раздел) глубинного дозового распределения вдоль оси пучка в водном фантоме.

Авторы [36] использовали BEV координатную систему с началом координат в источнике и осью z, направленной вдоль оси пучка к пациенту. Как правило, расчеты проводятся в плоскостях, перпендикулярных к оси пучка (2D геометрия), на разных глубинах. Расчетные точки имеют координаты (xp, yp). Координаты в плоскости, проходящей через устройство (обычно дальней от источника), обозначаются (xdev, ydev).

56

8.1.2.Физическая модель

Валгоритме работы [36] используется экспериментальные глубинные дозовые кривые, в которых уже учтены флуктуационные эффекты и влияние ядерных взаимодействий протонов. Ограничители пробегов характеризуются средним уменьшением пробегов. Ввиду однозначной связи между средней энергией протонов и средней глубиной их проникновения в алгоритме прослеживается не энергия протонов, а их остаточный пробег. Если ограничитель пробегов выполнен из такого же материала, в каком проводилось измерение глубинных дозовых кривых (обычно это вода), то уменьшение пробега равняется толщине ограничителя. В противном случае вводится поправочный фактор (см. раздел 8.3) для пересчета толщины ограничителя в эквивалентную толщину воды.

Угловое распределение протонов в результате многократного кулоновского рассеяния принимается гауссовским. Влиянием ядерных взаимодействий на угловое распределение пренебрегается

всилу относительно небольшой вероятности таких событий. Считается, что протоны испускаются виртуальным источником конечных размеров азимутально симметрично без угловой расходимости, т.е. с точки зрения модификации пробегов каждое устройство действует в приближении мононаправленности пучка.

Втерминах угловой светимости, индуцированной ограничивающими пучок устройствами, в модели работы [36] принята следующая стратегия:

• рассеяние в устройствах, расположенных ―вверх‖ по пучку (к источнику) от устройства ограничения пучка, учитывается через увеличение эффективного размера виртуального источника;

• рассеяние в устройствах, расположенных ―вниз‖ по пучку от устройства ограничения пучка, учитывается через увеличение радиальной светимости (стандартное отклонение пространственного распределения) на глубине выбранной для анализа точки (―точки интереса‖);

• рассеяние в пациенте учитывается через увеличение радиальной светимости на глубине точки интереса.

Всоответствии с рис. 8.21 примем следующую последовательность прохождения протонов через модифицирующие устройства: ограничитель пробегов; модулятор пробегов; ограничитель пробегов (не обязательно); устройства ограничения поперечных разме-

57

ров пучка (коллиматор (присутствует всегда), апертура, блоки); модификатор пробегов (односторонний или двусторонний); пациент.

8.1.3. Ограничитель пробегов

Уменьшение остаточного пробега протонов в каждом ограничителе пробегов (англ. degrader) tdeg в единицах г/см2 водного эквива-

лента определяется уравнением

где ldeg – физическая толщина ограничителя в см; ρdeg – плотность материала в г/см3; Wdeg – водоэквивалентное отношение материала, равное отношению линейных тормозных способностей конкретного материала и воды:

Для большинства биологических тканей Wdeg практически не зависит от энергии протонов, однако для плотных тканей, таких как кость, это справедливо только для энергии протонов выше 20 МэВ. В работе [36] значения Wdeg принимались равными 0,9762 для люсита, 0,6597 для латуни и 0,5006 для свинца.

Протоны теряют в ограничителях пробегов только часть своей энергии, поэтому их толщину можно считать промежуточной. Одновременно ограничители изменяют светимость пучка. Рассмотрим этот эффект подробнее.

Пусть узкий моноэнергетический пучок проходит через ограничитель конечной толщины. Угловое распределение протонов на глубине t в [36] принимается гауссовским с характеристическим углом ζ0, определяемым из обобщенной аппроксимации Хафлэнда:

pv – произведение импульса на скорость протона в МэВ, изменяющееся с глубиной t .

58

гии протона (рис. 8.22,а). Зависимость 02 от R для воды и люсита показана на рис. 8.22,б.

Рис. 8.22. Многократное кулоновское рассеяние протонов в средах произвольной толщины для разных энергий: а – зависимость 0 (t) / 0 (R))2 от t/R;

б – зависимость 02 от R для воды и люсита [36]

Угловая светимость проявляет себя как расширение пенумбры, поэтому данный эффект выражается в [36] как эффективное расширение источника (рис. 8.23). Вклад в увеличение размера источника от угловой светимости ограничителя пробегов ζdeg в малоугловом приближении определяется из уравнения

59

где ζdeg – характеристический угол ограничителя, вычисляемый по формуле (8.59); zdeg – расстояние от источника до дальней от ис-

точника поверхности ограничителя; ldeg – расстояние от эффектив-

ного ―начала‖ рассеяния (―эффективного источника‖ рассеяния) в ограничителе до его передней поверхности.

В первом приближении ldeg равна половине толщины ограничи-

теля. Более корректно ldeg можно определить, используя концепцию эффективного источника рассеянных частиц, развитую в работе [37]. В соответствии с ней отношение ldeg к толщине ограничи-

теля как функция толщины, нормализованное на остаточный пробег протонов, является универсальной зависимостью (рис. 8.24).

Рис. 8.23. Схематическое изображение угловой светимости, вызываемой кулоновским рассеянием в ограничителе пробегов, расположенным выше по пучку относительно устройства, ограничивающего поперечные размеры пучка [36]

Если ограничители пробегов расположены ниже по пучку, чем ограничивающее пучок устройство, то их влияние выражается во

60