Егоров Лабораторный практикум Физические основы модуляции лазерного излучения 2008

стояние между пикселями определяет так называемый фактор заполнения, или пространственную скважность ПВМС. Сетки с разной пространственной скважностью отверстий и соответствующие пространственные спектры представлены на рис. 1.5. Изображение рис. 1.5, реализованное с разной пространственной скважностью и соответствующие пространственные спектры представлены на рис. 1.6.

Рис. 1.4. Сигналы rect(x/b)rect(y/b) и circ(2r/b) и их спектры

Преобразование Фурье естественно для оптики. Представление немонохроматических волн суперпозицией гармонических компонент иллюстрирует эту естественность для случая разложения по временным частотам и может наблюдаться как явление дисперсии. Для случая разложения по пространственным частотам говорят о представлении некоторой монохроматической волны произвольной геометрии суперпозицией плоских волн, распространяющихся под разными углами и составляющими ее пространственный спектр. Это наблюдается при явлениях дифракции, особенно очевидно в дальней зоне. В частности, широко известно свойство линзы формировать в фокальной плоскости дифракционную картину Фраунгофера Uf(xf, yf), с точностью до постоянного фазового множителя совпадающую с преобразованием Фурье двумерного распределения когерентного светового поля на входе:

12

Здесь A – амплитуда плоской монохроматической волны, падающей на транспарант с распределением коэффициента пропускания t0(x0,y0), d0 – расстояние от транспаранта до фурье-объектива, f – фокусное расстояние фурье-объектива, – длина волны излучения.

Распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера на амплитудной синусоидальной решетке с функцией пропускания:

t(x,y) = [1/2 + mcos(2 fox)/2)]rect(x/l)rect(y/l),

где m – параметр, определяющий различие максимума и минимума пропускания решетки, l – размер квадратной апертуры решетки, f0 – частота с которой изменяется пропускание, определяется как

I(x,y) = (l2/2 z)2 + sinc2(ly/2 z){sinc2(lx/2 z) +

+ m2sinc2[l(x+f0 z)/2 z]/4 + m2sinc2[l(x – f0 z)/2 z]/4};

график его распределения вдоль оси х представлен на рис. 1.7. Распределение интенсивности в дифракционной картине Фраун-

гофера на синусоидальной фазовой решетке, функция пропускания которой имеет вид:

t(x, y) = exp[imcos(2 f0x)/2)]rect(x/l)rect(y/l)

определяется как:

I(x,y) = (l2/ z)2 Jq2 (m/2) {sinc2[l(x - qf0 z)/2 z]}sinc2(ly/2 z),

q

где Jq – функция Бесселя первого рода порядка q; распределение интенсивности вдоль оси х при m = 8 показано на рис. 1.8.

Методы анализа пространственного спектра изображений получили широкое распространение при решении задач распознавания изображений и многих других. Пример изображения, его рассчитанного пространственного спектра Фурье и его же пространственного спектра Фурье, сформированного в когерентном свете в фокальной плоскости линзы, изображены на рис. 1.9. Операции получения спектра Фурье проходят параллельно за один такт обработ-

13

ки, что позволяет получить чрезвычайно высокое быстродействие. Забегая вперед, отметим, что при модуляции спектр модулирующего сигнала смещается по шкале частот на частоту несущей, и это дает спектр модулированного сигнала.

а б

Рис. 1.5. Сетки с разной пространственной скважностью (а) и соответствующие им пространственные спектры (б)

14

1.3. Линейные системы

Свойство линейности дает возможность применить к оптическим системам удобный математический аппарат теории линейных систем, позволяющий однозначно определять свойства оптических систем, вводя описание их работы как линейное преобразование входного сигнала в выходной. Под системой вообще понимается любое устройство, производящее какое-либо действие над сигналом. Действие линейной системы в общем случае описывают интегралом суперпозиции:

sвых (uвых ) h(uвых;uвх )sвх (uвх )duвх

На практике реальные системы, строго говоря, не являются линейными, но можно говорить о той или иной степени их близости к линейным в некоторой области. В частности, как известно, при выполнении некоторых условий, в дифракционном приближении преобразование входного светового поля, осуществляемого оптической системой, характеризуется интегралом суперпозиции вида:

Uвых (xвых , yвых ) h(xвых, yвых;xвх , yвх )Uвх (xвх, yвх )dxвхdyвх

в случае когерентной оптической системы, а в случае некогерентной оптической системы

Iвых (xвых , yвых ) h(xвых, yвых;xвх , yвх )2 Iвх (xвх , yвх )dxвхdyвх

где Uвх, вых - комплексные амплитуды, а Iвх,вых - интенсивности поля на входе и выходе соответственно, h - комплексный импульсный отклик оптической системы, - вещественная константа.

Иначе говоря, когерентная оптическая система осуществляет линейное преобразование амплитуды, а некогерентная - линейное преобразование интенсивности. Когерентная передаточная функ-

ция:

H( fx , fy ) FT{h}

описывает действие когерентной оптической системы в простран- ственно-частотном представлении и совпадает с точностью до системы координат с функцией зрачка оптической системы:

H( fx , fy ) P( di fx , di fy ),

здесь di – расстояние до изображения. Аналогичные соображения верны и для пространственно-некогерентных оптических систем,

17

хотя математическое описание в этом случае несколько сложнее. Таким образом, зная частотные характеристики оптической системы можно удобным образом судить о ее действии. Учитывая сказанное, следует сделать вывод как о важности учета частотных характеристик сигналов обрабатываемых оптической системой, так и о необходимости учета пространственно-частотных характеристик самой оптической системы, формируемых, в свою очередь, про- странственно-частотными характеристиками оптических элементов и устройств, ее составляющих.

Рис. 1.10. Изображение, измеренное с одним и тем же разрешением (1024х1024 отсчетов)

и c разным динамическим диапазоном (числом градаций серого g)

1.4. Динамический диапазон и количество информации

Во всех реальных оптико-электронных системах присутствуют шумы и помехи разного рода, искажающие, а иногда и маскирующие полезные сигналы. Точность, с которой аналоговый сигнал отображает переносимую им информацию, определяют действую-

18

щие шумы; ее характеризует динамический диапазон. Под динамическим диапазоном понимают, в общем случае, отношение максимального уровня сигнала к эффективному уровню шумов. Динамический диапазон можно измерять в уровнях мощности сигнала, децибелах (логарифмическая шкала с основанием 10) или в битах (дискретная логарифмическая шкала с основанием 2).

N = 8

N = 16

N = 1024

Рис. 1.11. Изображение, измеренное с разным разрешением N N и числом градаций серого 256, и соответствующие пространственные спектры

19

Количество информации, которое может содержать сигнал, определяет произведение его динамического диапазона на количество разрешимых отсчетов. Например, дискретный сигнал из 8 отсчетов, с динамическим диапазоном 256 уровней (8 бит), содержит 8 8 = 64 бита информации. Изменение информативности сигнала в зависимости от используемого динамического диапазона иллюстрирует рис. 1.10.

С другой стороны, информационная емкость сигнала может быть охарактеризована произведением его длительности на ширину полосы частот. Для двумерного пространственного случая это иллюстрирует рис. 1.11, на котором представлены одно и тоже изображение, измеренное с одинаковым числом градаций серого в отсчете, но разным пространственным разрешением, и соответствующие каждому случаю пространственные спектры.

В заключение отметим, что круг вопросов о влиянии шумов относится к области статистической оптики и статистической радиофизики; эти вопросы выходят за пределы тематики данного обзора.

20