Егоров Лабораторный практикум Физические основы модуляции лазерного излучения 2008

приимчивость изотропной среды, где нелинейная восприимчивость сводится к скаляру. В этом случае поляризация принимает вид:

где – линейная, а (3) – нелинейная (кубическая) поляризуемость

среды. Квадратичная поляризуемость (2) изотропной среды равна нулю из-за требований симметрии, как и все (i) с четными i, а слагаемые высших порядков с i > 3 опущены как малые.

Подставив выражения для полей (7.1) в нелинейную часть поляризации (7.2), с учётом приведённого выше условия получим

P(NL) ( ) 0 (3) E1E2 E3* exp[i( t k3r)] к.с.

Взаимодействие, при котором в среде с нелинейной восприимчивостью две падающих на нее волны порождают третью волну, называют трехволновым взаимодействием (или смешением, что традиционно, хотя и не очень аккуратно). Если три волны порождают четвертую, взаимодействие называют четырехволновым (смешением). Когда частоты трех исходных волн совпадают, ту же частоту имеет и порожденная ими четвертая волна; это взаимодей-

ствие называют вырожденным четырехволновым смешением

(ВЧВС). Если частоты падающих волн различаются, то взаимодействие называют невырожденным, и частоту генерируемой четвертой волны определяет сохранение энергии.

При нелинейном взаимодействии параметры волн взаимосвязаны условиями фазового синхронизма колебаний в пространстве и во времени. Выполнение условий пространственного синхронизма принимает форму, аналогичную закону сохранения импульса (это строго верно в среде без дисперсии, а также и при вырожденном взаимодействии). Требования временного синхронизма приводят к соотношению, аналогичному сохранению энергии. Сохранение энергии и импульса при столкновениях частиц в самом общем случае в квантовой механике возникает как условия синхронизма (когерентности) временной и пространственной частей волновых функций начального и конечного состояний. При этих условиях сечение рассеяния (квадрат модуля амплитуды рассеяния) имеет резкий максимум. В частности, если в начальном состоянии строго определены энергия и импульс системы, то зависимость сечения рассеяния от импульса и энергии конечного состояния превращается в произведение -функций от разности энергий и импульсов. Если же неопределенности энергии и импульса начального состояния заданы соответствующими временем и длиной когерентности, то именно эти показатели когерентности и будут задавать спектральную и пространственно-частотную ширину максимума в сечении рассеяния. В среде с дисперсией сохранение импульса не нарушается, если импульсом называть вектор, пропорциональный волновому вектору, p =ћk.

131

7.6. Формирование фазовой решетки в среде с кубической нелинейностью

Определив зависимость поляризации изотропной среды от напряженности поля световой волны Е, получим зависимость показателя преломления n = n(Е). Для этого подставим поляризацию в выражение вектора электрической индукции D:

D 0E P 0E 0 E 0 (3)E(3)

С точностью до слагаемых пятой и более высоких степеней

Отсюда видно, что зависящая от поля добавка к показателю преломления пропорциональна интенсивности поля, и она тем больше, чем больше коэффициент (3), который обычно называют кубической (кубичной) нелинейностью. Следовательно, в среде с кубичной нелинейностью пространственная неоднородность интенсивности поля излучения создает подобную же неоднородность показателя преломления. На этом, в частности, основано и формирование динамических фазовых голограмм.

Отметим особую роль кубичной нелинейности: вообще говоря, в изотропных средах (3) – первое отличное от нуля слагаемое в разложении нелинейной части поляризации по степеням напряженности поля. Слагаемое низшей степени, с (2), не равно нулю только в анизотропной среде, а (1) отображает обычную линейную восприимчивость. При всем этом, электростатическое поле в изотропной среде в общем случае порождает малую наведенную анизотропию именно за счет кубичной нелинейности.

Чтобы пояснить, как в среде с нелинейной восприимчивостью образуется динамическая голограмма, мы рассмотрим самую примитивную модель – запись плоской предметной волны с помощью

132

плоской опорной волны. В реальных голограммах радиус кривизны фронта предметной волны на порядки больше длины волны, и поэтому на каждом участке голограммы интерферируют почти плоские волны; поэтому более сложные случаи просто сводятся к примитивному.

Если в среде действуют две плоских волны на одной частоте,

E1 E1 exp[i( t k1r)] к.с.,

E3 E3 exp[i( t k3r)] к.с.,

и угол между их волновыми векторами равен , то интенсивность суммарного поля E = E1 + E3 равна

I1 + I3 + E1E3 exp[ i(k1 k3)r] exp[i(k1 k3)r]I1 + I3 +2E1E3 cos(k1 k3)r

Направим ось координат z по биссектрисе угла ,

где r – координата в плоскости волновых векторов k1, k3, выбранная ортогонально биссектрисе угла . Распределение интенсивности (интерференционная картина!) в этом представлении имеет вид интерференционных полос c периодом ,

I = I1 + I3 + 2E1E3 cos(2qr ),

где q = ksin( /2), = /ksin( /2) = /2sin( /2) = 0/2n0sin( /2).

Отсюда получим распределение показателя преломления в нелинейной среде,

n n0 n2 E 2

n0 n2 ( E1 2 E3 2) 2n2E1E3 cos2qr

n0 2n2E1E3 cos2qr ,

то есть синусоидальную фазовую дифракционную решетку с периодом = 2ksin( /2). В ней поверхности равных показателей преломления ("штрихи", или рассеивающие плоскости в объемной решетке) параллельны оси z и ортогональны плоскости, содержащей волновые векторы k1, k3.

133

7.7. Обращение волнового фронта при вырожденном четырехволновом взаимодействии

Само по себе когерентное рассеяние на синусоидальной решетке показателя преломления подчинено почти тем же закономерностям, что и рассеяние на ультразвуковой волне в акустооптическом модуляторе (раздел «Акустооптическая модуляция» ; аналогия была бы полной при стоячей волне ультразвука, когда решетка неподвижна). Амплитуда рассеяния волны E2 (k2) на фазовой решетке с размером l в направлении k2 зависит от величины

k2l×n2E1E3,

аналогичной индексу фазовой модуляции (только не во времени, а в пространстве, по координате r ). Квадрат амплитуды рассеяния называют дифракционной эффективностью решетки.

Диаграмму направленности рассеяния определяют условия Брэгга; в данном конкретном случае, при k1 = –k2 , они дают

E4(r ) E3*(r ).

До сих пор мы различали волны E1 и E2; на самом деле они в общем случае равноправны. Поэтому фазовую решетку формирует не только интерференция волн E3 и E1, но и интерференция волн E3 и E2 (см. рис. 7.2, рис. 7.6). Рассеяние волны E1 на этой второй решетке тоже порождает обращенную волну, E4 E3*. Более того, волны E4, порожденные на двух разных решетках, интерферируют между собой.

В условиях типового эксперимента волна E1 все же выделена тем, что угол 13 невелик, то есть волны E1, E3 бегут в одну сторону (попутны) и поэтому формируют редкую решетку с относительно большим периодом,

13 /2sin( 13 /2) / 13, 13 1,

а почти встречные волны E2, E3 формируют частую решетку с малым периодом,

23 /2sin( 23 /2) /2, 23 .

134

Когерентное рассеяние волны E2 на решетке с выполнением условий Брэгга лаконично отображают соотношения волновых векторов (см. рис. 7.7, в):

k1 – k3 = p = k4 – k2, p = 2q, k1 = – k2 ,

откуда следует k4 = – k3. Вектор p – вектор обратной решетки, соответствующей реальной решетке с периодом = 2ksin( /2).

Теперь можно кратко описать сущность физической модели обращения волнового фронта при вырожденном четырехволновом взаимодействии. Сигнальная волна при интерференции с одной из волн накачки формирует в нелинейной среде решетку показателя преломления. Вторая волна накачки (сопряженная с первой) при когерентном рассеянии на этой решетке порождает четвертую волну, сопряженную с сигнальной.

Чтобы на практике получить такой результат, нужно найти материал с подходящей и не слишком слабой нелинейностью. Один из таких материалов, описанный в следующем разделе, применен

влабораторной установке.

7.8.Диффузионная нелинейность фоторефрактивных кристаллов. Диффузионная фоторефракция

Всовременной оптоэлектронике часто применяют так называемые фоторефрактивные кристаллы. В них под действием света происходят изменения, в определенных условиях наблюдаемые как изменения показателя преломления, что и дало им название. Зависимость показателя преломления от освещенности можно наблюдать в различных фототропных материалах, в том числе и в фотохромных стеклах.

Описанные далее фоторефрактивные эффекты наблюдают в кристаллах, где явно выражен линейный электрооптический эффект Поккельса. В фоторефрактивном кристалле существенные роли играют подвижные и локализованные заряженные состояния. Качественно опишем в общих чертах процессы, формирующие фазовую решетку, предполагая у читателя минимум знаний по физике полупроводников.

Кристалл BSO (6Bi2O3 SiO2) – полупроводник с большой шириной запрещенной зоны (на это указывает заметное поглощение в сине-фиолетовой области спектра). Из-за большой ширины запрещенной зоны Eg >> kT при комнатных температурах концентрация

136

электронов проводимости крайне мала. В глубине запрещенной зоны расположены энергетические уровни заряженных локализованных состояний (рис. 7.8); подвижность электронов в этих состояниях на несколько порядков ниже, чем подвижность электронов в зоне проводимости. В этих состояниях внутри запрещенной зоны время жизни электронов довольно велико, поэтому их называют ловушками (или центрами прилипания).

В красной области спектра BSO поглощает на переходах с глубоких донорных уровней в зону проводимости. Концентрация доноров невелика, поэтому поглощение не очень сильное (табл. 7.1). Позже мы покажем, что в принципе существует оптимум поглощения, при котором желательные эффекты проявляются наиболее сильно.

Таблица 7.1

Электрооптические параметры фоторефрактивных кристаллов

При локальном освещении полупроводника (независимо от механизма генерации в нем неравновесных подвижных электронов и участвующих в этом состояний), обязательно образуются пары но-

137

сителей заряда разного знака. В освещенной области концентрация носителей заряда повышается, и начинается их диффузия в ближайшие к ней неосвещенные области.

Диффузия – это движение частиц с их тепловыми скоростями (по инерции). Если газ частиц разрежен, и нет стенок, то частицы разлетаются неограниченно далеко. В реальных условиях свободный разлет частиц замедляют столкновения с другими частицами. Электростатическое поле пространственного заряда сдерживает разлет зарядов разного знака, но ускоряет разлет одноименных зарядов.

Диффузию неравновесных электронов в полупроводнике в первом приближении можно рассматривать как диффузию в разреженном газе, учитывая столкновения (рассеяние) и конечное время жизни неравновесного электрона в зоне проводимости. Вместе с тем, часто уже в первом приближении нужно учитывать присутствие в полупроводнике зарядов обоих знаков и их кулоновское взаимодействие.

E

зона проводимости

свет

поглощение захват рекомбинация

уровни - ловушки

внутризонная

релаксация

запрещенная зона

p

валентная зона

Рис. 7.8. Процессы генерации и рекомбинации носителей заряда в пространстве импульс-энергия

Если подвижности носителей заряда различаются, то диффузия более подвижных носителей обгоняет диффузию менее подвижных. Тогда заряды разного знака разделяются в пространстве, и образуется электростатическое поле (рис. 7.9). Это явление в полупроводниках называют эффектом Дембера. Поле разделившихся при диффузии разноименных зарядов сдерживает движение более подвижных носителей и ускоряет носители менее подвижные. При стационарном освещении поле разделившихся зарядов вызы-

138

вает их дрейф по полю, так что токи диффузии и дрейфа, направленные навстречу друг другу, компенсируются.

внутризонная

релаксация

свет

захват рекомбинация

поглощение

уровни - ловушки

малоподвижные

заряды

запрещенная зона

x

валентная зона

Рис. 7.9. Процессы переноса зарядов в пространстве координата x – энергия E

В кристалле BSO подвижностью положительных зарядов можно пренебречь. Тогда диффузионный разлет зарядов из освещенной области описывают два наиболее важных параметра – коэффициент диффузии D и время жизни электрона в зоне проводимости. Можно показать, что линейный размер области LD, в которой при диффузии из точечного источника концентрация электронов существенно убывает за счет рекомбинации, составляет

LD D ;

эту величину называют длиной диффузии (или диффузионной длиной).

Время жизни неравновесных электронов проводимости ограничено их переходами в связанные состояния на ловушкахакцепторах, внутри запрещенной зоны, ближе к зоне проводимости. Время жизни этих связанных состояний иногда может быть очень заметным (секунды и более).

Очень важно то, что и доноры, и ловушки – локализованные заряженные состояния. Диффундирующие из освещенной области электроны проводимости, захваченные на ловушки в прилегающей

139

неосвещенной области, образуют область отрицательного заряда на расстояниях порядка диффузионной длины от освещенной области. Плотность пространственного заряда в первом приближении пропорциональна освещенности. В освещенной области формируется положительный пространственный заряд незаселенных доноров. Ионизованный донор на общем фоне электронейтрального полупроводника несет положительный заряд, а занятая ловушка – отрицательный. В области перехода от освещенной к неосвещенной области пространственные заряды создают электростатическое поле. Его напряженность в первом приближении пропорциональна освещенности и обратно пропорциональна диффузионной длине; вектор напряженности направлен так, что поле объемных зарядов тормозит диффузию электронов проводимости из света в тень. Так в стационарных условиях освещения формируется стационарное распределение электрического поля. Так как концентрация собственных носителей заряда в широкозонном полупроводнике исчезающе мала, а примесные уровни энергии в нашем случае расположены в глубине запрещенной зоны, то возникший при неоднородном освещении пространственный заряд не может рассасываться с участием токов проводимости, а его поле в отсутствие свободных носителей не экранируется и релаксирует очень медленно.

Электростатическое поле может изменять оптические свойства вещества за счет электрострикции и за счет линейного электрооптического эффекта Поккельса. Электрострикция проявляется как механические напряжения и вызванные ими изменения плотности и показателя преломления. Электрострикция – эффект очень слабый, квадратично зависящий от напряженности поля, но свойственный всем полупроводникам и диэлектрикам. Напротив, эффект Поккельса линейно зависит от напряженности поля и во многих электрооптических кристаллах достаточно силен. Он проявляется как изменения поляризуемости и показателя преломления под действием электрического поля; при этом механические напряжения и деформации (пьезоэлектричество) играют второстепенную роль.

Кристалл BSO имеет кубическую элементарную ячейку и относится к классу симметрии 23, то есть имеет только оси симметрии 2-го и 3-го порядка. Среди элементов симметрии BSO нет плоскостей симметрии, поэтому он существует в левой и правой

киральных формах (синонимы – хиральные, энантиоморфные).

В кристалле BSO, как и во многих других киральных кристаллах,

140